איך לקרוא את אווקלידס, חלק 1

ככל שמרבים בקריאת "היסודות" של אווקלידס, מתרבים והולכים הפרדוקסים שבו. נראה שכל פרשנות של טקסט זה - כמו של כל טקסט אחר - אינה יכולה להתעלם מכך שיש בו יותר ממה שנראה לעין במבט ראשון. הדקונסטרוקציה מניחה שכל טקסט נושא עקבות של הנסתר-שלא-מדעת מן המחבר, שכל טקסט מכיל בתוכו שורה של "נוכחים-נפקדים".

השפה אינה שיקוף פשוט של מציאות היסטורית: לפי ז'אק דרידה, תפקידם של הקוראים הוא לחשוף מה שלא יכול היה הסופר לומר ולהעניק לו משמעות. הדקונסטרוקציה היא הלך-רוח של תהייה, של מוּדעוּת למוסווה, למוחמץ, לדחוי, לכל מה שלא ניתן לו ייצוג בשפה, אך הוא בכל זאת שם.

טקסט כולל גם כללי שיח

המטרה הראשונה היא להראות שטקסט מדעי, אפילו טקסט מתמטי כגון ספר "היסודות" של אווקלידס, מכיל לא רק תוכן מתמטי, אלא גם את כללי השיח שבתוכו מתקיים הטקסט. יתר על כן, כללי השיח הללו אינם מוצהרים במפורש. נוסף על הבנה, שחזוּר והצגה של התוכן המדעי מוטלת על ההיסטוריון המשימה לחשוף את כללי השיח הללו ולהציגם על פי מה שנאמר.

אבל גם על ידי התייחסות למה שלא נאמר ואף על ידי מציאת שיטה במה שלא נאמר. צריך לשאול לא רק מה נאמר, אלא מדוע דברים מסוימים לא נאמרו. יחד עם זאת יש להטיל מגבלות על הטיפול במה ש"לא נאמר" בטקסט. יש דברים שלא נאמרים אבל לגיטימי לטפל בהם, ויש דברים שהטיפול בהם אינו לגיטימי.

קריאה כפולה

ניתוח שיח הוא אפשרי אם מפעילים סוג של קריאה כפולה על הטקסט, קריאה המכוונת לקראת דקונסטרוקציה. כדי להבהיר זאת אציג כמה עקרונות של דקונסטרוקציה על פי קריאה בספר "על הגרָמָטוֹלוֹגיה" (De la Grammatologie) של ז'אק דרידה (Derrida), אבי הדקונסטרוקציה. טענתי היא שהשימוש בדקונסטרוקציה אינו קשור בהכרח לגישה לא "רצינית" לטקסטים, המלוּוה ב"ניהיליזם מוסרי", ו"ברצון להאדרה עצמית", כפי שמשתמע מביקורות שונות על הפוסטמודרניזם.

מלומדים כדרידה, ז'אק לקאן (Lacan) או עמנואל לוינאס (Levinas) עשו דקונסטרוקציה או דיברו על דקונסטרוקציה או על ניתוח-שיח במונחים פוסט-סטרוקטורליסטיים, ויחד עם זאת, גישתם לטקסטים רצינית. פעילותם של אנשים לא רציניים הקוראים לעצמם דקונסטרוקטיביסטים אינה כשלעצמה הוכחה לכך שהדקונסטרוקציה במהותה אינה רצינית, ושהיא מובילה באופן הכרחי להתאבדות אינטלקטואלית.

כמה חידות של אווקלידס

"על קו ישר נתון לבנות משולש שווה צלעות" ("היסודות", ספר 1, משפט 1). "קו ישר הוא קו המונח באופן שווה עם הנקודות על פניו" (שם, הגדרה מס' 4). "נקודה היא זה שאין לו חלק" (שם, הגדרה מס' 1). "לשרטט קו ישר מכל נקודה שהיא לכל נקודה שהיא" (שם, פוסטולט מס' 1).

הדיוט, או לצורך העניין, מי שבא מן הירח - אדם שמימיו לא שמע על גיאומטריה אווקלידית - אינו יכול בשום אופן להבין מה נאמר במשפטים שציטטתי, גם אם במציאות חייו פגש קווים, נקודות ומשולשים לאינספור, והוא יודע את משמעותה של כל מלה שנאמרה פה. אנסה לתאר כמה מן התנאים המוקדמים ההכרחיים להבנת הנאמר, אף כי שום דבר ממה שאגיד אינו מופיע במפורש בטקסט של אווקלידס שציטטתי לעיל.

בניגוד לשכל הישר מניח הטקסט:

1. שצריך לבנות משולש על קו נתון, אבל בלי למדוד את הקו. הפעולה המתבקשת - על פי השכל הישר - מן הדרישה לבנייה, מסולקת ללא אומר מן הטקסט האווקלידי.

2. המילה קו אינה מתייחסת לכל קו (לא שפת השולחן, למשל), אלא לזה שהוגדר בהגדרה מס' 4, שאי אפשר להבינה בלי הגדרה מס' 1 (הגדרת הנקודה).

3. יתרה מזו: פוסטולט מס' 1 שציטטתי: "לשרטט קו ישר מכל נקודה שהיא לכל נקודה שהיא", מניח לא רק את הגדרת הקו, אלא אף את קיומו הלא-פרובלמטי, המובן מאליו כביכול, ואף חוסם את אפשרותה של כל טענה, ולפיה הקווים שמשרטטים הגיאומטריקונים אינם ישרים באמת, בשל המכשירים הלא-מושלמים הנמצאים בידיהם.

ידוע לנו שטענה כזו נשמעה בעולם היווני שקדם לאווקלידס, שהרי אריסטו מצטט אותה באנליטיקה המאוחרת שלו (76b41). הציטוט מאריסטו מעיד שהיוונים הבינו, ונתנו ביטוי ברור להבנתם, ששום קו ישר אינו ניתן לשרטוט בפועל. יחד עם זאת אווקלידס מניח, שאכן אפשר לשרטט קו ישר מכל נקודה שהיא לכל נקודה שהיא, היינו: שקו כזה קיים.

כבר ממבט ראשון ברור, שהדברים ההכרחיים להבנת הטקסט ולפרקטיקה הגיאומטרית, אך שאינם נאמרים בו במפורש (ואלה הן רק דוגמאות בודדות), הם מסוגים שונים:

א. הנחות קיום מובלעות, ועל פיהן האובייקטים שמדברים עליהם, או שמפעילים עליהם מניפולציות, קיימים, אף שאין הם נראים בפועל והם אינם נתפשים בחושים (כפי שמשתמע ממס' 3 למעלה).

ב. הנחות אפיסטמולוגיות מובלעות, ולפיהן החשיבה הגיאומטרית מתבצעת רק באובייקטים שניתנה להם הגדרה פורמלית קודם לכן (משתמע ממס' 2 למעלה).

ג. כללי דיבור - כללי פעולה (ההבחנה כאן אינה ברורה מאליה) הנוגדים את השכל הישר, אך קיימים בטקסט בצורת הנחות סמויות. למשל, בגיאומטריה קווים וזוויות - או גדלים, כפי שכינה אותם אריסטו - אסורים במדידה מספרית, איסור שאינו רק נוגד את השכל הישר, אלא נשמע פרדוקסלי ממש (משתמע ממס' 1).

הפרדוקסים הולכים ומתרבים

ככל שקוראים יותר בטקסט המשונה של אווקלידס, הטקסט המשוכפל ביותר בתרבות המערבית (כן, יותר מן התנ"ך!), הולכים הפרדוקסים ומתרבים. מתברר כי הדברים הנכוחים לכל גיאומטריקן, לכל מי שמשתמש בטקסט, מבלי שייאמרו בו במפורש, מקבלים נוכחות מוגברת ככל שקוראים יותר בטקסט. כביכול יש הצטברות של הלא-קיים. אבל אין זה מדויק. שכן, הלא-קיים כביכול, הוא בעצם קיים מאוד, אם כי באופן מאוד לא מפורש.

מה שנראה הוא לא מה שיש באמת, ומה שיש באמת אינו מה שרואים. זה מה שלימד אווקלידס, בלי שאמר כך במפורש. זה מה שאווקלידס עושה הלכה למעשה בכל משפט גיאומטרי נוסף הנחשף לעינינו. זו הירושה שהותיר לנו הדובר הנעלם, הדובר הלא-אישי ביותר שאפשר לתאר, זה המסתפק במודוס דיבורי נייטרלי לחלוטין.

להעביר את המבנה האוקסימורוני

צורת הציווי הפסיבי שתרגומה המקובל - "יהא ABC משולש ישר-זווית" - אינו מצליח להעביר לקורא העברי את המבנה האוקסימורוני הטמון בה ("let the following be postulated"), ויחד עם זאת אין הוא נמנע גם מן השימוש האישי ביותר, הסובייקטיבי ביותר שאפשר להעלות על הדעת, בנוסח: "אני אומר שהבסיס BC שווה ל...".

לטעמי, טביעת אצבעותיו ניכרת בכל דף מדפי הספר הזה. אבל רוב הקוראים ביכרו להתעלם ממנו, ותחת זאת העדיפו לציין רק את קיומו כלַקטן. עוד פרדוקס. אבל נכון הוא, שכדי לחשוף את הדובר ואת עמדותיו בתוך הטקסט, לשחזר את כללי הדיון שבתוכם הוא פועל, את הגבולות שהציב, את האובייקטים שייצר, יש לחשוף, לטרוח, להתאמץ, "לגלות" את מה שנוכח למרות שנראה כאינו נוכח בטקסט הזה.

מה שנוכח ומה שלא

"היסודות", ספר 1, משפט 4: משפט החפיפה הראשון, צלע, זווית, צלע, המוכח באמצעות סוּפּרפוזיציה של משולשים, כלומר: ה"שימה זה על זה", שמחייבת העברה, שמחייבת תנועה. בתוך ספר, שכל אובייקט הנזכר זו ניתן לחשיבה רק אם הוגדר קודם לכן בהגדרה פורמלית, ויחד עם זאת הוא מניח שאותם אובייקטים קיימים הלכה למעשה בעולם שבו אין הם נראים ואין הם מוחשים - מופיע פתאום, בדלת האחורית, מושג של תנועה, היינו: של שינוי; היינו: של חומר. כיצד להסביר את מה שנראה כסתירה?

כל פרשנות של "היסודות" אינה יכולה שלא להודות שבטקסט הזה - כמו בכל טקסט - יש יותר ממה שנראה לעין במבט ראשון, ואף יותר, הרבה יותר, ממה שכתוב באופן מילולי גרידא. שלושת הכרכים הגדושים של תומס הית' (Heath), "The Thirteen Books of Euclid's Elements", המכילים הרבה מאוד קריאות מאוחרות של "היסודות", כמו גם חלק חשוב מן ההיסטוריה שקדמה לו, נמצאים באיזה שהוא מובן בטקסט. לא ייתכן שחזוּר (רקונסטרוקציה) של הטקסט הזה בלי חלק, לפחות, מן המידע שמביא הית'.

אסכולת ואן דר ורדן

יש לא מעט פרשנים - שנציגם המובהק הוא ואן דר ורדן (van der Waerden) - המרחיקים לכת בניסיונם לגלות בטקסט משוואות אלגבריות, וטוענים כי השרטוטים הגיאומטריים, שפת הפרופורציות, שהיא תחליף למשוואות, והרטוריקה התיאורית והמניפולטיבית אינם אלא "אופני ביטוי" (modes of expression) מקריים של הטקסט, ואינם מהותיים להבנת תכניו.

אולם גם הפרשנים החולקים מכול וכול על שחזור באמצעות תרגום המשפטים האווקלידיים לשפה אלגברית סימבולית, אינם יכולים להסתפק בטקסט כמו שהוא, והם נזקקים לאינטרטקסטים אחרים (כגון ה"מנון" של אפלטון, ובו דיאגרמה המעידה על האופן שבו ניסחו היוונים את הכרתם בחוסר המידה המשותפת, incommensurability, של צלע המשולש ואלכסוֹנוֹ) כדי לבסס את השחזור שלהם.

כמה עניינים עולים מכל זה:

1. אין שחזור של טקסט בלי הסתמכות על טקסטים אחרים, שהם הקונטקסט של הטקסט. פירושו של דבר, שאין דיכוטומיה בין טקסט לקונטקסט. כל טקסט מכיל קונטקסט. והקונטקסט עצמו, גם הוא מתוּוך על ידי טקסטים. אין נגישות ישירה למציאות העבר, ללא תיווך של טקסטים. ולצורך העניין - גם מטבעות ואמצעי ייצוג לא מילוליים אחרים הם טקסטים. אי אפשר "לקרוא" בהם במנותק מהקריאה בטקסטים.

2. אם כך, מהו הקריטריון לבחירת הטקסטים הרלוונטיים כקונטקסט? האם, במקרה שלנו, עלינו לבחור בטקסטים מתמטיים מאוחרים, שאל שפתם ניתן לתרגם את הטקסט המפורש? בטקסטים מתמטיים בני הזמן? בטקסטים אחרים בני הזמן? האם "הכול הולך"?

3. אם אין לטקסט גבולות ברורים, והטקסט לא סגור באופן סופי על ידי הכריכה שלו, ה"טקסטואליות" שלו, או "חומריותו", מה עוד מותר לקרוא לתוכו, למרות שאינו כתוב בו במפורש? מהם הסימנים המתירים, ואפילו מחייבים, קריאה שהיא מעבר לחזרה גרידא על מה שנאמר בו? או במילים אחרות, מהי פרשנות לגיטימית, ואיך קובעים שפרשנות מסוימת אינה לגיטימית? האם יש פרשנות לא נכונה?

שתי קבוצות אופציות

אני מבקשת לצמצם את הדיון לאופציות הפרשניות של "היסודות" הקיימות בשטח, ולחלקן באורח גס לשתי קבוצות. קבוצה אחת יוצאת מן ההנחה שמה שמהותי לטקסט של אווקלידס הוא התוכן המתמטי שלו, וכל היתר משני ואפילו טפל. הפרשנות הנכונה היא הפרשנות שתעביר באופן הבהיר ביותר והחסכני ביותר את התוכן המתמטי.

הקריטריון המרכזי שהיא מעמידה להבחנה בין סוגים של פרשנויות הוא ההתאמה לעולם המתמטי. מה שנכון בעולם המתמטי, הוא זה שראוי להעמדה במרכז, ולכל טקסט יש מרכז ויש שוליים. שחזוּר טוב הוא שחזור המאתר את המרכז ונותן לו אישור מחודש. הקבוצה השנייה - נדמה לי ששבתאי אונגורו הוא אחד הדוברים המובהקים שלה - אינה חולקת על ההנחות הפרשניות הבסיסיות של הקבוצה הראשונה, אלא קובעת מרכז אלטרנטיבי.

התאמה למציאות

נכון שכל פרשנות של טקסט מתמטי צריכה קודם כול להתאים למציאות המתמטית. אבל זהו תנאי הכרחי, ולא תנאי מספיק. יש קריטריון נוסף, והוא ההתאמה למציאות ההיסטורית. מה שמהותי לטקסט של אווקלידס אינו רק התוכן המתמטי, אלא אף השפה (המתמטית, שפת הפרופורציות ולא המשוואות, וגם זו המדוברת) שבה נכתב הטקסט.