לחיות עם אי הודאות - חלק ב'

מהפך זה, לפיו האידיאות האפלטוניות הן גרסאות מלאכותיות ופשטניות של מבנים פרקטליים מורכבים, שרודדו במתכוון כדי להקל את הטיפול הגיאומטרי-מתמטי בהם, נעוץ בתכונה המרכזית של הפרקטל המנדלברוטי: הדמיון העצמי. הווי אומר, הפרקטל עשוי מתצורה בסיסית החוזרת ומופיעה בכל קנה מידה.

למה דומים הדברים לעצמם

מנדלברוט הראה, שתכונת הדמיון העצמי איננה גחמה מתמטית של גיאומטריה אקסצנטרית. אמנם היא התגלתה הודות ליכולתם של מחשבים מודרניים לבצע מיליארדי פעולות בשניה, אבל היא לא יציר מלאכותי של המחשבים, היא קיימת בטבע, בים, ביבשה ובאוויר: רעשים של גלים ושל מפלי מים דומים לעצמם בכל קטעיהם, גלים קטנים דומים לגלים גדולים, חוליות (דיונות) קטנות דומות לחוליות גדולות, עננים קטנים דומים לעננים גדולים.

דמיון עצמי זה מקשה על טייסים, למשל, להעריך את גובה טיסתם מעל לים או מעל אזור דיונות, שכן מגובה רב גלי הים הגדולים נראים בדיוק כמו גלי ים קטנים מגובה נמוך. הוא הדין בחי ובצומח: עץ זעיר ממרחק קטן נראה כמו עץ גדול ממרחק רב.

אחראית לתאונות

תכונה זו של דמיון עצמי נמצאה באנגליה אחראית למספר גדול של תאונות, שכן בשעות הלילה הדמות המתגלה לנהג לפני מכוניתו יכולה להיות אדם בוגר במרחק בטוח של מאות מטרים ממנו, או ילד קטן בטווח מסוכן של עשרות מטרים. 

שלוש שאלות מתלוות במחשבתי לתכונת הדמיון העצמי: למה היא נפוצה בטבע, מה מקורה ומדוע היא לא קיימת בעולם המוצרים המלאכותיים של האדם.

אני נוטה לחשוב, ששורשיה של תכונת הדמיון העצמי נעוצים בעיקרון החסכנות המאפיין את הטבע. עיקרון זה אחראי למספר החוקים המצומצם העומדים ביסודם של מבנים שונים בטבע. הטעם לכך ברור, החוקים הפיסיקליים העומדים ביסוד בנייתה של בועת סבון קטנה הם אותם החוקים העומדים ביסוד בנייתה של בועה גדולה.

הטבע לא מבזבז אנרגיות

הטבע לא מנסה להמציא את הגלגל כל פעם מחדש, כי ניסיון כזה היה בזבזני מבחינה אנרגטית, מטופש מבחינה לוגית ובלתי נסלח מבחינה אבולוציונית. זו הסיבה, כנראה, לאוניברסליזציה של מנגנונים ואיברים בטבע: שפת הדנ"א משמשת בקטריות ובני אדם כאחד; הכבד, הכליה, הריאות, הלב, וכיו"ב איברים מאיברים שונים, זהים אצל כל היונקים והציפורים.

כך גם גרעין התא, תאי הזרע, הביציות, המיטוכונדריות, הריבוסומים וכיו"ב אברונים מאברונים שונים. כל אלה, לרבות חלבונים לאינספור, חוצים את הגבולות הטאקסונומיים של מחלקות, סדרות, משפחות, סוגים ומינים בממלכת החי והצומח. אכן, האבולוציה לא נוטה להמציא את הגלגל פעמיים.

למה הדמיון העצמי לא ממשיך הלאה

אם כאלה הם פני הדברים, מדוע תכונת הדמיון העצמי איננה גם נחלת התוצרים המלאכותיים מעשה ידי אדם? למה עקרון החסכנות לא חל עליהם? דר' דוד יששכרי, במאמרו "על תכונותיו הפרקטליות של הזמן" ("מחשבות" 66), הצביע על רשימת תוצרים מלאכותיים, מעשה ידי אדם, הנעדרים תכונת הדמיון העצמי: בתים, כסאות, שולחנות, גשרים, וכן גופים גיאומטריים כגון משולשים, ריבועים ועיגולים.

העדרה של תכונת הדמיון העצמי בתוצרים אלה מאפשרת לנו לעשות מה שנמנע מאתנו בתוצרים הטבעיים של הטבע: להעריך את גודלם ואת מרחקנו מהם. כך, למשל, על פי גודל הבית שעל ראש הגבעה אנו יודעים כמה אנו רחוקים ממנו; על פי גודל המפרש באופק יכולים ספנים להעריך את מרחקם מהספינה. מה שמאפשר לבצע הערכה זו הוא העובדה שגודלם של התוצרים המלאכותיים ידוע וקבוע מראש. ומשעה שמידותיו של עצם קבועות ניתן בנקל לקבוע את מרחקו מאתנו. עד כאן יששכרי.

תשובה בנאלית

דברים אלה מביאים אותנו להבדל העמוק בין העולם התוצרים המלאכותיים - מעשה ידי אדם - לבין עולם התוצרים הטבעיים. לטבע אין מטרה, תוצריו לא נוצרו כדי לשרת תכלית כלשהי. העננים לא התפתחו כדי שמימיהם ירוו את צימאון החי והצומח, הגלים בים לא נועדו לשמש את הספנים, גובה הדיונות במדבר לא נקבע על פי כושר העבירות של הגמלים.

ההיגיון המתבקש

כיוון שכך, אין שום סיבה שיהיה למוצרים טבעיים אלה גודל מסוים, ייחודי וקבוע מראש. להפך, ההגיון המתבקש הוא שיהיו בעלי תכונה של דמיון עצמי, מכוח עיקרון החסכנות השורר בטבע, עיקרון המביא את הברירה הטבעית להעדיף את הקיים - ככל שהדבר ניתן - על פני החדש. עיקרון החסכנות ממחיש את שמרנותו של הטבע, שכן כל עוד ניתן לבנות כדור גדול על פי אותם העקרונות המשמשים לבניית כדור קטן, אין כל סיבה לנסח עקרונות חדשים.

זהו הרעיון של הבבושקה הרוסית, שכל בובה בה היא העתק מוקטן של הבובה המכילה אותה. ואמנם, כל אימת שהסביבה לוחצת על הברירה הטבעית לפתח תכונה חדשה, היא לעולם תעדיף לערוך שינוים והתאמות במבנים הקיימים במקום לפתח מבנים חדשים לחלוטין.

העננים - משהו שונה לגמרי

לא בכדי נמצאה הגיאומטריה הפרקטלית מתאימה מאין כמוה לתיאור הטבע. אומר הפיסיקאי מיקל ברנסלי: "לעננים אין קווים ישרים, והעצים אינם מעוגלים ולא משולשים. הם משהו שונה, שונה לגמרי". את המשהו הזה מצליחה הגיאומטריה הפרקטלית לשחזר במחשב, באמצעות פקודות פשוטות, החוזרות על עצמן פעם אחר פעם.

"כך, כנראה, פועל גם הטבע", אומר מיקל ברנסלי, המאמין שהגיאומטריה הפרקטלית מאפשרת לו "להביט על הטבע בכוליות שלו". ואמנם, בקנה מידה של מאה מיליון שנות אור, פיזור הגלאקסיות ביקום מציג מבנים פרקטליים בעלי ממד שבין אחת לשתיים.

כמו אולם מראות ענקי

כאן המקום להצביע על הבדל יסודי בין הפרקטלים הטבעיים לבין הפרקטלים הגיאומטריים, הבדל שמנע מגיבורו של אנטוניוני לגלות את פשר הכתם הלבן לרגלי השיח בפארק. ההבדל בין השניים הוא, שהורתם ולידתם של הפרקטלים הטבעיים במציאות הפיסיקלית, לכן הם לא יכולים להיות אינסופיים, כי לכל גוף פיסיקלי יש גבול עליון לגודל וגבול תחתון לקוטן, ומעבר להם משתרעים המרחבים הלבנים של האינמידע. מטעם זה, כל ניסיון להגדיל אובייקט פיסי מעבר לגבול העליון שלו אינו מוסיף מידע, אלא מרחב לבן.

נולדו ממתמטיקה

לעומת זאת, הורתם ולידתם של הפרקטלים הגיאומטריים בחשיבה מתמטית. לפיכך, אין הם מוגבלים על ידי גבול פיסיקלי - לא עליון ולא תחתון, שכן ניתן להגדיל פרקטל גיאומטרי מקבוצת מנדלברוט פי מיליון ואפילו פי ביליון. מכאן, אם הכתם הלבן בתצלום של תומס היה עשוי מפרקטל מתמטי (ולא מהפרקטל הפיסיקלי הטבעי של האובייקט המצולם), הוא היה מגלה שם ללא קושי את הגוויה, אבל גוויה מדומה, עשויה מפרקטלים גיאומטריים-מתמטיים. ודאי לא ראיה חותכת למעשה הרצח, אשר התרחש במציאות הפיסיקלית.

המוח רואה

העובדה שאנו נדרשים להסתברות כדי לתאר אירועים שנוטלים בהם חלק משתתפים רבים (במציאות המאקרוסקופית), אפילו משתתף בודד (במציאות המיקרוסקופית), יש בה משום הודאה בקוצר ידנו לדעת את המציאות - בכל רמותיה - ידיעה שלמה ובוודאות מלאה.

אי ודאות זו נתפסה בדרך כלל כחיסרון גדול לעומת הדטרמיניזם, המאפשר על סמך ידיעת העולם בהווה לגזור את מצב העולם בעוד 1,000 שנה, אבל מנקודת מבט אבולוציונית, דווקא הידיעה המקורבת, המסתמכת על הסתברות, עדיפה על הידיעה הוודאית והמדויקת. כל כך למה?

הכרעה מהירה

כיוון שהערכת מצב על פי בסיס הסתברותי היא מהירה יותר, והכרעה מהירה בטבע עושה ברוב המקרים את ההבדל בין חיים למוות, בין הישרדות להכחדה. חיה המסוגלת להעריך אם קטע גוף המבצבץ בין השיחים, או אם תנועה מאחורי עשב הסוואנה הגבוה היא טרף או טורף, סיכוייה לשרוד גדולים לאין שעור מפרט הזקוק למלוא המידע כדי להחליט על צעדיו.

אמנם, ידיעה המתבססת על הסתברות עשויה להיות שגויה, אבל הטבע יכול להסכין עם אחוז מסוים של שגיאות. לדוגמה, מנגנון ההחתמה אצל בעלי חיים התפתח על בסיס ההנחה שהחיות הסמוכות ביותר לצאצאים בעת היוולדם הן הוריהם. לא תמיד זה כך, אבל שעור היוצאים מהכלל הזה הוא כה מבוטל, עד כי כדאי לברירה הטבעית לבסס את מנגנון ההחתמה על קרבה פיסית, במקום לפתח מנגנוני זיהוי מדויקים יותר, אך יקרים מבחינת ההשקעה האנרגטית.

אינסטינקט הזיהוי האימהי

הוא הדין באינסטינקט הזיהוי האימהי. בקרב מינים מסוימים של ברווזים, אמהות נוטות לנטוש את אפרוחיהן אם מספרם קטן מדי, לטובת תטולה חדשה עתירת ביצים. גורל האפרוחים הנטושים נתון בידי המזל ומנגנון ההחתמה. מנגנון זה גורם להם ללכת בעקבות בעל החיים הגדול הראשון שהם פוגשים.

הואיל וכך, כאשר עוברת לידם ברווזה, הם מצטרפים לשיירת האפרוחים המשתרכת אחריה. עתה מופקד גורלם בידי ההסתברות: אם לצאצאיה טרם מלאו עשרה ימים, היא תתייחס לאפרוחים הזרים כאלו היו שלה, שכן אין לה מנגנון המסוגל להבחין בין העצמי לזר בגיל המסוים הזה. ככלות הכל, ההסתברות שאפרוחים המשייטים לידה אינם שלה היא קלושה ביותר מבחינה סטטיסטית, לפיכך לא פועל שום לחץ על הברירה הטבעית לפתח מנגנוני זיהוי מיוחדים למצבים כה נדירים.

כמו אצל זבובים

בהכללה ניתן אפוא לומר, שהידיעה ההסתברותית חשובה בטבע מהידיעה הפרטנית. אצל זבובים, למשל, התפתחה עין המורכבת מאלפי עדשות. מערך זה מאפשר להם לזהות במהירות תנועה מאיימת, אבל במחיר חדות התמונה. שאלה של סדר עדיפויות. צפרדעים מסוגלים לזהות רק גופים נעים. פירוש הדבר שהם לא יכולים ליהנות מיופיים של עצמים נייחים, אבל העיניים לא פותחו בטבע כדי להתענג מהיופי.

כמובן, אין בהכללה זו כדי לשלול יוצאים מן הכלל, שבהם ידיעה פרטנית ומדויקת היא התכונה החיונית ביותר. כך הדבר אצל פינגווינים, כלבי ים ועטלפים, המגדלים את צאצאיהם בצפיפות רבה עם שכניהם. עובדה זו מחייבת את האמהות להיות מצוידות במנגנונים יעילים לזיהוי צאצאיהן, פן ישחיתו חלבן על גידול צאצאים זרים.

שני מבנים במוח

ההבדל בין דיוק לקירוב הוא חד במיוחד בתחום האריתמטיקה. מחקרים מראים שפועלים במוחנו שני מבנים העוסקים בחישוביות קוגניטיבית: מבנה אחד תלוי-שפה, לטיפול בידע אריתמטי מדויק, ומבנה שני - בלתי תלוי בשפה - מסתמך על ייצוג כמותי לצורכי הערכות וקירובים.

תלותו של המבנה הראשון בשפה מעידה עליו שהוא מאוחר מאוד מבחינה אבולוציונית, קרי - ימיו כימי התרבות האנושית. הברירה הטבעית העדיפה אפוא מראשית ימיה את ההסתברות, את ההערכה ואת הקירוב על פני הדיוק האריתמטי.

מנגנון האינטרפטציה

הכרעה אסטרטגית זו לוותה בהתפתחותו של מנגנון נוסף, אולי המנגנון הקוגניטיבי החשוב ביותר בטבע: מנגנון האינטרפרטציה. על מנגנון זה מוטל לפרש בכל רגע נתון את המידע החסר או העודף בתמונה הקולית, החזותית או הריחנית הניצבת לפני בעל החיים, זאת כדי לאפשר לו לקבל החלטה. מה שקרה כנראה במהלך האבולוציה הוא, שההכרעה הפרשנית לגבי המידע הנקלט על ידי החושים עברה מהחושים למוח, אף כי חלק מהפרשנות נותר עד היום בתחומי אבר החישה.

כך, למשל, אצל סרטן הפרסה מנגנון הזיהוי של נקבות פועל כבר ברמת הרשתית. הודות לו מסוגל הזכר לזהות לאלתר את בנות המין השני מבין הסרטנים הרבים המציפים את החוף בתנאי ראות קשים ביותר. מנגנון האינטרפרטציה החישתי של סרטן הפרסה מתמקד בשלושה מאפיינים: גודל, צורה ותנועה. אם האובייקט הנע לצידו או מולו גדול כמו סרטנית, דומה לסרטנית ונע כמו סרטנית, הוא מגיע למסקנה שהאובייקט הזה הוא סרטנית.

• המאמר נכתב בשנת 1989
  

• לקריאה בחלק השלישי של המאמר לחצו כאן