האם יש שיטה למציאת שורש ריבועי?
מסיבה לא ברורה, לא מחפשים המתמטיקאים שיטה למצוא שורש ריבועי או שורש כלשהו. האם יש בידם הוכחה מתמטית שלא מתאפשרת שיטה שכזו? עדיין לא. חידת המספרים הראשוניים היא שמונעת מציאת השיטה לכאורה, ועד שלא תיפתר, אין על מה לדבר. ברם, שום ניסיון רציני לתקוף סוגיה זו לא נעשה, ואפילו לא מחפשים דרך כלשהי למצוא שורש ריבועי, של חלק מהמספרים הדו-חזקתיים
מסיבה לא ברורה, לא מחפשים המתמטיקאים שיטה למצוא שורש ריבועי או שורש כלשהו. האם יש בידם הוכחה מתמטית שלא מתאפשרת שיטה שכזו? עדיין לא. חידת המספרים הראשוניים היא שמונעת מציאת השיטה לכאורה, ועד שלא תיפתר, אין על מה לדבר. ברם, שום ניסיון רציני לתקוף סוגיה זו לא נעשה, ואפילו לא מחפשים דרך כלשהי למצוא שורש ריבועי, של חלק מהמספרים הדו-חזקתיים.
מהו שורש ריבועי? כל מספר הוא שורש של מספר אחר. המספר 9 למשל הוא שורש ריבועי של המספר 81, או במילים אחרות, זהו 9². 81 הוא מספר דו-חזקתי. כל מספר שיש לו שורש ריבועי הוא מספר דו-חזקתי. 80 אינו מספר דו-חזקתי כי אין לו שורש ריבועי. לכאורה, אין נוסחה היכולה לחשב שורש ריבועי של מספר דו-חזקתי, אך האם נכון הדבר?
להלן המשפטים הבאים:
- מכפלה של מספר אי זוגי במספר זוגי היא תמיד מספר זוגי: 3X6=18
- מספר אי זוגי פחות מספר אי זוגי הוא תמיד מספר זוגי: 19-9=10
- מספר זוגי פחות מספר אי זוגי הוא תמיד מספר אי זוגי: 20-11=9
- מספר זוגי פחות מספר זוגי הוא תמיד מספר זוגי: 12-8=4
- מספר אי זוגי פחות מספר זוגי הוא תמיד מספר אי זוגי: 13-6=7
- מכפלה של מספר אי זוגי אחד במספר אי זוגי אחר היא מספר אי זוגי: 3*7=21
- לכל מספר דו-חזקתי אי זוגי יש תמיד שורש ריבועי אי זוגי: 25=5²
- אין מספר דו-חזקתי אי זוגי שמסתיים בספרה 3: 121, 225, 289.
- מכפלה של מספר זוגי אחד במספר זוגי אחר היא מספר זוגי: 4X6=24
- לכל מספר חזקתי זוגי יש תמיד שורש ריבועי זוגי: 6²=36
- כל מספר זוגי נמצא בין שני מספרים אי זוגיים: 7 8 9
- כל מספר אי זוגי נמצא בין שני מספרים זוגיים: 4 5 6
- בין מספר דו-חזקתי אי זוגי יהיו תמיד שני מספרים דו-חזקתיים זוגיים: 16 25 36
- בין מספר דו-חזקתי זוגי יהיו תמיד שני מספרים דו-חזקתיים אי זוגיים: 9 16 25
- כל מספר הוא שורש ריבועי של מספר דו-חזקתי: 81=9²
- כל מספר זוגי מתחלק לשניים: 8:2=4
- כל מספר זוגי מהווה סכום של שני מספרים זהים: 3+3=6
- שורש ריבועי של מספר דו-חזקתי זוגי הוא תמיד סכום של שני מספרים זהים: 16=8+8
- כל מספר אי זוגי מורכב משני מספרים עוקבים: 5+6=11
- שורש ריבועי של מספר דו-חזקתי אי זוגי הוא תמיד סכום של שני מספרים עוקבים: 2+3=5
- תוצאת החלוקה בארבע של כל מספר דו-חזקתי זוגי מהווה מספר דו-חזקתי אחר: 1936:4=484
- מכפלת השורש בשניים של תוצאת החלוקה בארבע של מספר דו-חזקתי זוגי, מהווה את השורש הריבועי של המספר הדו-חזקתי הזוגי: 484:4=121=11², 11*2=22, 22²=
- מכפלת השורש בארבע של תוצאת החלוקה ב-16 ללא שארית של מספר דו-חזקתי זוגי, מהווה את השורש הריבועי של המספר הדו-חזקתי הזוגי: 20736:16=1296=36², 36X4=144, 20736=144²
לפי שני המשפטים האחרונים, ישנה שיטה למצוא שורש ריבועי של מחצית מן המספרים הדו-חזקתיים הזוגיים או רבע מכלל המספרים הדו-חזקתיים. כמו כן, די בכך שתוצאת חלוקה של מספר זוגי בארבע תהא ללא שארית, כדי להצביע על כך שיתכן שהוא מספר דו-חזקתי, קרי שיש לו שורש ריבועי.
נשוב על הדוגמה למען התלמידים: הבוקר לאחר שזללתם את הלחמניה ושתיתם את שקית השוקו בקייטנה, נתברר לכם שהביקור בבריכה התבטל. מה לעשות? אתם שואלים את עצמכם. הרי כל החברים שלכם יושבים עכשיו מול הטלוויזיה וצופים בפינוקיו, נילס הולגרסון והלב (כל יום בערוץ מספר אחד בארץ). מיד אתם אצים-רצים הביתה ומגלים ששמשון ויובב חטפו את בלה, שנילס נתפס על ידי השועל, והקוף של מרקו הציל גור של שועל. בלית ברירה, אתם מכבים את הטלוויזיה ופותחים את חוברות החשבון של תמר פיש, שאמא קנתה לכם לחופש הגדול. אך אויה, לאן נעלם פלוטו...כלומר, המחשבון? הכיצד נמצא שורש ריבועי של 20736?
את הפעולה הזו כולם יודעים לעשות: 1296=20736:16
גם כולם יודעים ששורש ריבועי של 1296 הוא 36, ואם לא, אז רצוי לשנן את כל התוצאות של המספרים מ-1 עד 100 בחזקת 2.
אם לא יודעים, אזי מחלקים את 1296 ב-4. התוצאה היא 324. השורש הריבועי של 324 הוא 18. והנה 18X2=36.
את הפעולה הזו כולם יודעים לעשות: 144=36X4
ומיהו 144? נכון, השורש הריבועי של 20736.
האם יש גם שיטה שמאפשרת למצוא שורש ריבועי של מספר דו-חזקתי אי זוגי? או אז, כל אשר נדרש הוא לבדוק אם המספר הדו-חזקתי הוא זוגי או אי זוגי. באם הוא מספר אי זוגי יש לפעול לפי השיטה האי זוגית, ובאם הוא מספר זוגי יש לחלק לארבע. אם תוצאת החלוקה היא מספר שהוא אי זוגי, יש שוב להשתמש בשיטה האי זוגית ולהגיע לשורש הריבועי. אם תוצאת החלוקה היא זוגית, יש שוב לחלק בארבע ואת שורש תוצאת החלוקה יש להכפיל בארבע, ואז נקבל את השורש הריבועי. בכל אופן, הדרך לנסח שיטה למציאת השורש הריבועי היא להיעזר במשפטים שהוצגו.
עוד כמה תגליות על מספרים דו-חזקתיים זוגיים:
כאמור, כל מספר שיש לו שורש ריבועי הוא מספר דו-חזקתי. מספרים דו-חזקתיים זוגיים הם: 4, 16, 64 ...
עד כמה שידוע לי, אף אחד מלבדי בעולם לא מתעניין במספרים הללו, מבחינת התבנית הייחודית הזו כסדרה (ואינני מתכוון לבינאריים), מדוע? למעשה, אני אפילו המצאתי את המונח הזה. בכל אופן, הנה תכונה אחת מיני רבות לגביהם, אשר אין להם חשיבות מרובה, מלבד עבור אלה החובבים מספרים מחכימים, כל עוד אינם קשורים בנומרולוגיה.
4=2+1+1
16=8+4+2+1+1
64=32+16+8+4+2+1+1
256=128+64+32+16+8+4+2+1+1
1024=512+256+128+64+32+16+8+4+2+1+1
שימו לב שבדומה למספרים המושלמים (28 הוא מספר מושלם כי הוא מהווה את סכום חלקיו: 14+7+4+2+1), אך בהבדל אחד, מספרים דו-חזקתיים זוגיים מהווים את סכום חלקיהם בתוספת 1. משום שמדובר במספרים המהווים גם 2ª, כאשר a יכול להיות כל מספר מ-2 ואילך כל עוד הוא זוגי, הרי שכל מספר דו-חזקתי זוגי מורכב מ-a+1 חלקים.
לפנייה לכתב/ת 
אילוסטרציה
צילום: סי די בנק
