הרפתקאות במרחב-זמן עקום

מאת: אדוארדו גוארון

בשנות ה-40 כתב הפיסיקאי ג'ורג' גאמוב סדרת סיפורים מפורסמת, ובה תיאר את הרפתקאותיו של מר טומפקינס, פקיד בנק צנוע שחלם על עולמות שהתרחשו בהם תופעות פיסיקליות מוזרות בחיי היום-יום. באחד מן העולמות האלה, למשל, מהירות האור היא 15 קמ"ש, ולכן התופעות המוזרות של תורת היחסות הפרטית של איינשטיין באות בו לידי ביטוי אפילו בעת רכיבה באופניים.

לפני זמן לא רב נתקלתי באופן ציורי באחד מצאצאיו של מר טומפקינס - מר א' מ' אֶוֶורארד, פילוסוף ומהנדס הממשיך את המסורת. הוא סיפר לי שעבר התנסות מדהימה, הקשורה לכמה היבטים של תורת היחסות הכללית של איינשטיין שהתגלו לא מזמן. אני רוצה לשתף אתכם בסיפורו המדהים המתאר מרחב-זמן עקום, חתולים המרחפים באוויר, אסטרונאוט המנסה להיחלץ מסכנה על ידי פילוס דרכו תוך שכשוך בריק ואת אייזיק ניוטון שאולי מתהפך בקברו.

היזהר! מעקמים מסוכנים לפניך

באזור מרוחק ביקום יצא מר אוורארד מן החללית שלו כדי לתקן אנטנה שהתקלקלה. הוא הבחין שהאור היפהפה המגיע מכוכבים רחוקים נראה מעוות, כאילו הביט בו מבעד לעדשה עבה. הוא חש גם שמשהו מותח מעט את גופו. מאחר שחשד שהוא יודע במה מדובר, שלף מתיקו מצביע לייזר ומכל קצף גילוח והפעיל את חגורת הסילון שלו כדי לבחון את הרעיון.

בעזרת קרן הלייזר, שהנחתה אותו, הוא ריחף בהנעה סילונית 100 מטרים קדימה, פנה שמאלה, המשיך עוד כמה עשרות מטרים ולבסוף שב לנקודת המוצא, משאיר מאחוריו משולש קצף, כאילו כתב בדיו קוסמי. אחרי כן הוא מדד את זוויות המשולש בעזרת מד זווית וחיבר אותן. התוצאה הייתה גדולה מ-180 מעלות.

מר אוורארד לא הופתע כלל מהפרה ברורה זו של חוקי הגאומטריה. הוא נזכר בחיבה בתקרית לא-אאוקלידית בילדותו, אז צייר במשובה משולש על הגלובוס בחדר העבודה של הוריו, גם אז סכום הזוויות היה גדול מ-180 מעלות. הוא הסיק שהחלל סביבו ודאי עקום, כמו פני הגלובוס מלפני שנים כה רבות ובמרחק שנות אור רבות כל כך. העקמומיות, סבר, תסביר גם את העיוות של אור הכוכבים וגם את ההרגשה הלא נוחה שחווה, כאילו גופו נמתח מעט.

מר אוורארד הבין שהוא חווה תופעות של תורת היחסות הכללית, שהכיר מספרי הלימוד. תופעות כאלה אושרו כבר מזמן בניסויים מדויקים הרבה יותר מן הטיול מתיז הקצף שלו בחלל. חומר ואנרגיה גורמים למרחב ולזמן להתעקם, ועיקומו של המרחב-זמן גורם לחומר ולאנרגיה (כמו לקרן הלייזר ולאור הכוכבים) לנוע במסלולים מעוקמים. רגליו וראשו של מר אוורארד "רצו" לנוע במסלולים מעט שונים, והאי-התאמה ביניהם גרמה לתחושת המתיחה.

בעודו מהרהר בתופעה לחץ מר אוורארד על כפתור חגורת הסילון שלו כדי לחזור לחללית, אך דבר לא קרה. הוא נבהל ושם לב שמד הדלק שלו הורה על אפס ושהוא מרוחק כ-100 מטרים מפתח החללית. למעשה הוא ומשולש הקצף שלו נסחפו הלאה מן החללית במהירות קבועה.

הוא השליך במהירות את מד הזווית, את מצביע הלייזר, את מכל קצף הגילוח ואת שאר החפצים שהיו בתיקו בכיוון המנוגד לחללית. על פי חוק שימור התנע, כל זריקת חפץ דחפה אותו בכיוון הנגדי - אל עבר החללית. הוא אפילו פרק את חגורת הסילון שלו וזרק אותה בחוזקה. אך גם לאחר שהשליך את כל מה שהיה ברשותו, הוא גילה שהצליח בסך הכול לחזור לנקודת המוצא שלו.

הוא ריחף חסר תנועה ביחס לחללית, אך עדיין היה רחוק ממנה. מצבו נראה כמעט חסר תקווה: אפילו המורה שלו לפיסיקה בתיכון לימד אותו שגוף אינו יכול להאיץ מבלי שיפעל עליו כוח חיצוני, או מבלי שיפלוט מסה מסוג כלשהו.

למזלו של ידידנו הנסחף בחלל, הוא גילה עוד קודם שהוא מצוי בחלל עקום, והיה חכם דיו לדעת שחוקי שימור מסוימים אינם פועלים במרחב עקום כפי שהם פועלים במרחב השטוח הניוטוני שעליו למד בבית הספר. הוא זכר שקרא מאמר בפיסיקה מ-2003 שבו הראה המדען הפלנטרי ג'ק ויזדום מן המכון הטכנולוגי של מסצ'וסטס (MIT) כי אסטרונאוט יכול לנוע בחלל עקום בדרכים שאינן אפשריות על פי חוקי התנועה של ניוטון - הוא פשוט צריך להניע את ידיו ורגליו באופן הנכון.

במילים אחרות, הוא יכול לשחות. אין צורך בנוזל שידחף אותו - הוא יכול לשכשך לו בריק.

התכסיס של ויזדום דומה קצת לדרך שבה חתול שהושלך וראשו למטה יכול לפתל את גופו, למשוך את רגליו ולשוב ולמתוח אותן כך שיתהפך וינחת עליהן. חוקי המכניקה של ניוטון מאפשרים לחתול לשנות את כיוונו באוויר - אך לא את מהירותו - ללא צורך לדחוף משהו או להידחף על ידי משהו.

אסטרונאוטים, כמו אלו שעל סיפון תחנת החלל הבין-לאומית, משתמשים בגרסה של תכסיס החתול המתפתל כדי להסתובב בסביבה של חוסר משקל בלי שיצטרכו להיאחז בגופים. במרחב-זמן של תורת היחסות הכללית חתול או אסטרונאוט יכולים לבצע פעלולים מרשימים אף יותר. גיבורנו הצליח לשוב לחללית בתוך כשעה - לא שיא אולימפי אך בהחלט די מהר כדי להבטיח לעצמו עוד הרפתקאות רבות בעתיד.

שיעורי שחייה

כיצד בדיוק פועלת התופעה של ויזדום? כיצד ייתכן שהרפתקן כמו מר אוורארד מסוגל לשחות בחלל? במרחב שטוח - הקיים על פי מכניקת ניוטון ותורת היחסות הפרטית - מרכז המסה של מערכת מבודדת (כגון אסטרונאוט וחגורת הסילון שלו) אינו מאיץ לעולם. נניח שמר אוורארד היה קושר חבל ארוך לחגורת הסילון שלו לפני שזרק אותה, ואז היה מושך אותה בחזרה אליו.

במשך כל המהלך הזה - גם כשהאסטרונאוט וחגורת הסילון התרחקו זה מזה וגם כשהתקרבו שוב - נשאר מרכז המסה של השניים ללא שינוי. בסופו של דבר, האסטרונאוט וחגורת הסילון יחזרו למיקומם המקורי. באופן כללי יותר, מר אוורארד אינו מסוגל לשנות את מיקומו רק על ידי שינוי מחזורי של צורתו או של מבנהו.

במרחב-זמן עקום המצב שונה. כדי להבין מדוע, דמיינו חייזר בעל שתי זרועות וזנב שיכולים להתכווץ ולהתארך. כדי לפשט את הדיון נניח שכל מסת החייזר מרוכזת בקצה הגפיים שלו - רבע בכל יד וחצי בקצה זנבו. כשהוא מרחף במרחב שטוח הוא חסר אונים. אם ימתח את זנבו לאורך שני מטרים למשל, ינועו זרועותיו מטר קדימה וקצה הזנב ינוע מטר אחורה, וכך מרכז המסה שלו יישאר באותו המקום. כיווץ הזנב בחזרה ישיב את החייזר למצבו המקורי, בדיוק כמו מר אוורארד וחגורת הסילון.

דבר דומה יקרה אם החייזר ינסה לפשוט את זרועותיו קדימה. לא משנה איזו סדרת פעולות של כיווץ והארכת גפיים יעשה החייזר, מרכז המסה שלו לא יזוז. הדבר היחיד שהוא יכול לבצע הוא תרגיל החתול (פשיטת הגפיים, סיבובם בתנופה, כיווצם, סיבובם בשנית וחוזר חלילה) לשינוי הכיוון שאליו הוא פונה.

כעת דמיינו שהחייזר חי במרחב עקום, כפניו של כדור. כדי להקל את התרגיל אשתמש במונחים גאוגרפיים לתיאור מיקום וכיוון על פני הכדור. החייזר מתחיל על קו המשווה, ראשו פונה מערבה וזרועותיו וזנבו מכווצים. הוא פושט את שתי הזרועות, אחת צפונה ואחת דרומה. אז הוא מאריך את זנבו בעוד זרועותיו פשוטות בזווית ישרה.

כמו במרחב שטוח, אם הזנב בעל המסה יזוז מטר אחד מזרחה, יזוזו הזרועות מטר אחד מערבה. אך הנה ההבדל המהותי: על פני הכדור זרועותיו של החייזר מקבילות לקווי האורך של הכדור, והמרחק בין קווים אלו הוא הגדול ביותר על קו המשווה. לכן כשידי החייזר (הקרובות יותר לקוטבי הכדור) נעות מטר אחד מערבה, כתפיו (שעל קו המשווה) נעות יותר ממטר אחד.

כעת, כשהחייזר מכווץ את זרועותיו לאורך קווי האורך של הכדור, ידיו מגיעות למרחק גדול יותר ממטר מערבה. כשהוא מכווץ את זנבו וחוזר לצורת הגוף המקורית, הוא מוצא את עצמו מעט מערבה ממיקומו המקורי שעל קו המשווה!

חזרה על סדרת הפעולות הזאת תאפשר לחייזר להתקדם לאטו לאורך קו המשווה. הזנב והידיים בעלות המסה אינם מרכיב מהותי בשחייה. פשוט קל יותר לראות את תנועת הזרועות בתגובה למתיחת הזנב אם כל המסה מרוכזת בשלוש נקודות. לו הישרדותו של מין החייזרים הייתה תלויה ביכולתו לשחות במרחב עקום, ייתכן שהיה מפתח משקולות כבדות בקצות גופו כדי לייעל את השחייה. ככלות הכול, על מעטפת הכדור מרפקים בעלי מסה יגיעו למרחק קטן מזה שיגיעו זרועות בעלות מסה, ולכן יגרמו פחות תנועה של הגוף.

עיקרון זה אינו פועל רק במשטח דו-ממדי כפני כדור, אלא גם בַּמרחב-זמן העקום הארבעה-ממדי. שינויים מחזוריים בתצורה של מערכת יכולים להביא לידי העתקת מיקומה. השחיין שתיאר ויזדום היה תלת-רגל בעל רגליים טלסקופיות. רגליו יכולות להתקצר או להתארך והזווית ביניהן יכולה לגדול או לקטון. תלת-הרגל שוחה על ידי הארכת רגליו, הגדלת הזוויות שביניהן, כיווצן וסגירתן. ככל שעקמומיות המרחב-זמן שבו מצוי החייזר גדולה יותר, כך הוא מצליח לנוע רחוק יותר בעזרת סדרת הפעולות.

עברות תנועה?

למרות ההפתעה במבט ראשון, שחייה אינה מפירה את חוקי השימור הבסיסיים. למעשה, היא תוצאה ישירה שלהם. השחייה מתאפשרת כי עצם המושג "מרכז מסה" אינו מוגדר היטב במרחב עקום. נניח שברשותנו שלושה כדורים המצויים בקדקודיו של משולש שווה צלעות ולכל אחד מהם מסה של קילוגרם אחד. אם הם מונחים על משטח שטוח, מרכז המסה שלהם מצוי במרכז ההנדסי של המשולש.

אפשר לחשב את מיקומו של מרכז המסה שלהם בכמה דרכים שכולן מובילות לאותה תוצאה. אפשר לחפש את הנקודה המצויה במרחק שווה מכל שלושת הכדורים. אפשר גם להחליף שניים מן הכדורים בכדור שקול חדש שמשקלו שני קילוגרמים המצוי במחצית המרחק ביניהם, ולחשב את מרכז המסה של הכדור החדש והכדור השלישי (הנקודה המצויה בשליש הדרך לאורך הקו המחבר את הכדור החדש והכדור השלישי). התוצאה תהיה זהה. עובדה הנדסית זו מיתרגמת לדינמיקה של המערכת: מרכז המסה של מערכת מבודדת אינו מאיץ לעולם.

בכל הנוגע למשטח עקום, לעומת זאת, חישובים שונים מביאים לידי קבלת תוצאות שונות. דמיינו משולש הנוצר על ידי שלושה כדורים שווי מסה המצויים בסינגפור, בדקאר ובטהיטי - כולם בקרבת קו המשווה. הנקודה המצויה במרחק שווה משלושתם קרובה מאוד לקוטב הצפוני.

אך אם תחליפו את הכדורים שבסינגפור ובדקאר בכדור כבד יותר המצוי באמצע הדרך ביניהן ואז תחפשו את הנקודה בשליש הדרך שבין כדור זה ובין הכדור שבטהיטי לאורך מעגל גדול, התוצאה תהיה בקרבת קו המשווה. כלומר מיקום "מרכז המסה" על משטח עקום אינו מוגדר היטב. על כן מערכת במרחב עקום יכולה לנוע גם כשהיא מבודדת מכל השפעה חיצונית.

בכבידה ניוטונית יש תופעות שבמבט ראשון נראה כי הן דומות לשחייה במרחב-זמן. לדוגמה, אסטרונאוט המקיף את כדור הארץ יכול לשנות את מסלולו על ידי התמתחות והתכווצות לצורה כדורית בשלבים שונים של התנועה. אבל תופעה ניוטונית זו שונה משחייה במרחב-זמן - היא מתרחשת מפני ששדה הכבידה שונה ממקום למקום.

האסטרונאוט חייב לתזמן את תנועותיו, כפי שאדם על נדנדה צריך לעשות כדי להתנדנד מהר יותר. הוא אינו יכול לשנות את מסלול תנועתו הניוטוני על ידי חזרה מהירה על תנועות קטנות מאוד, אך הוא יכול לשחות כך במרחב-זמן עקום.

עצם העובדה שכ-90 שנה לא שמו לב לאפשרות השחייה במרחב-זמן מזכירה לנו שתורותיו של איינשטיין עדיין אינן מובנות במלואן. כפי הנראה, בעתיד הקרוב לא תיבנה "חללית שחייה". אולם פרנק וילצ'ק, פיסיקאי זוכה פרס נובל מ-MIT, טען שעבודתו של ויזדום מעלה שאלות יסודיות בנוגע למהות המרחב והזמן.

בייחוד נוגעים ממצאיו של ויזדום לשאלה האלמותית - האם המרחב הוא עצם חומרי מהותי בזכות עצמו (עמדה המכונה מהותנות - substantivalism), או שמא רק מכשיר מחשבתי מועיל להבעת היחסים שבין גופים (עמדה המכונה יחסותניות - relationalism).

כדי להדגים את העמדות השונות, דמיינו שמר אוורארד מרחף ביקום ריק (חוץ ממנו). אין סביבו כוכבים או גלקסיות שיכולים לשמש לו מקורות ייחוס למיקומו. הפיסיקאי והפילוסוף היחסותן ארנסט מאך טען ב-1893 כי תנועה תהיה חסרת משמעות במצב כזה. אבל גם מרחב ריק לגמרי יכול להיות עקום, ומר אוורארד יוכל לשחות בו. לכן נראה כי המרחב מתנהג כעין נוזל וירטואלי ואפשר להגדיר תנועת גוף מבודד ביחס אליו.

אפילו למרחב ריק לגמרי יש מבנה גאומטרי - טיעון התומך במהותנות. עם זאת, חומר (או כל צורה אחרת של אנרגיה) נותן למרחב את מבנהו הגאומטרי, ולכן המרחב-זמן אינו בלתי-תלוי בתוכנו - טיעון התומך ביחסותניות. השאלה, שעולה באופן בלתי צפוי מן הניסיונות לפתח תורה מאוחדת לפיסיקה, נשארת ללא פתרון.

אדוארדו גוארון (Guéron) הוא פרופסור חבר למתמטיקה יישומית באוניברסיטה הפדרלית של ABC בברזיל (אזור "ABC" גובל בעיר סאו פאולו). הכתבה המלאה פורסמה בגיליון דצמבר של המגזין "סיינטיפיק אמריקן - ישראל " בהוצאת אורט