מתמטיקה: תגלית או המצאה?
כבר שנים רבות מתחבטים מתמטיקאים ופילוסופים בשאלה אם בני האדם המציאו את חוקי המתמטיקה, או שהם תמיד היו כאן ורק חיכו שיגלו אותם
בשנת 1609 הוציא גלילאוֹ גליליי את הטלסקופ שבנה, כיוון אותו לשמים וראה מראות ששינו את עולמנו לנצח. הוא ראה את הירח ואת פניו זרועות המכתשים, את ארבעת ירחיו הגדולים של צדק ואת כתמי השמש האימתניים.
האם כל הדברים שראה גליליאו היו שם קודם? בוודאי, הוא רק השתמש במכשיר שאפשר לו לראות אותם. זהו בדיוק ההבדל בין תגלית לבין המצאה: המדענים מגלים דברים כל הזמן. זה יכול להיות מין חדש של שממית, יסוד כימי לא מוּכּר או מערכת שמש בקצה הגלקסיה – דברים שתמיד היו שם, ורק חיכו שמישהו יחשוף אותם. המצאה, לעומת זאת, היא יצירה של דבר חדש שאין כמוהו בשום מקום.
אבל כשמתמטיקאי משרבט נוסחה או תרגיל על דף, הוא עושה פעולה שהיא בין תגלית להמצאה. מצד אחד, הוא בדרך כלל מתאר בתרגילים האלה חפצים שקיימים גם בעולם האמיתי, למשל 1+1=2. תפוח אחד ועוד תפוח אחד, שני תפוחים.
מצד שני, אפשר בהחלט להמציא רעיונות מתמטיים שאינם קיימים במציאות. למשל, משולשים: האם אי פעם ראיתם משולש אמיתי? משולש גיאומטרי אידיאלי, שיש לו שלוש פינות נקודתיות וצלעות ישרות לחלוטין?
לא ראיתם אחד כזה, מכיוון שמשולשים במציאות הם תמיד פּגוּמים - לא משנה כמה נתאמץ ובאילו כלים נשתמש, בכל משולש שנבנה או נשרטט הצלעות יהיו קצת עקומות והפינות לא בדיוק נקודתיות.
אז אם אפשר להמציא רעיונות מתמטיים כמו משולשים מושלמים, שאינם קיימים במציאות, אולי המתמטיקה כולה היא רק המצאה?
פעמון מיוחד מאוד
השאלה הזו מרתקת מתמטיקאים ופילוסופים כבר שנים רבות. חלקם מאמינים בכל ליבם שהמתמטיקה היא תגלית, שהיא הייתה מתקיימת גם אם לא היו מתמטיקאים כּלל בעולמנו.
כדי להסביר לכם למה הם חושבים כך, הנה סיפור קטן על אדוֹלף-ז'אק קטלה, שנולד בעיר הבלגית גנט בשנת 1796. כשהיה בן 27 הוא נסע לפריז כדי להתמחוֹת באסטרונומיה, אך בצרפת הוא פגש את פּייר-סימוֹן לפּלס, אחד מהמתמטיקאים הגדולים של דורו, שהכיר לו את מדע הסטטיסטיקה.
זה היה תחום צעיר ולא מפותח באותם הימים, אך המתמטיקאים שעסקו בו הספיקו לגלות כמה עובדות מסקרנוֹת. נניח שאנחנו מודדים את הטמפרטורה של דלי מים רותחים. המדחום איננו מושלם, לכן בכל פעם שנכניס אותו לתוך הדלי נקבל תוצאה שונה.
השינויים יהיו זעירים, שברירי מעלה לכאן או לכאן: במדידה אחת נקרא 100.5 מעלות, במדידה הבאה 99.5 מעלות, וכן הלאה.
כדי להיות בטוחים, נבצע 1,000 מדידות שונות ונרשום את התוצאות בּצוּרת גּרף. הציר האופקי יהיה הטמפרטורה והציר האנכי יספור כמה פעמים קיבלנו את אותה המדידה.
יהיו לנו המון מדידות שנעות סביב 100 מעלות, ומעט מדידות שמתרחקות ממנה - למשל, עשר מדידות של 101 מעלות, חמש מדידות של 102 מעלות ורק שלוש מדידות של 104 מעלות. הגרף שנקבל ייראה כמו פעמון: אזור מרכזי גבוה, ושוליים קטנים בהדרגה.
מה שמעניין בגרף הזה הוא העובדה שהמתמטיקאים נתקלו בו בהמון ניסויים שונים בפיזיקה. כמעט בכל פעם שמדידה חזרה על עצמה, כמו במדידת מהירות, זרם חשמלי, אורך, משקל ומה לא, התוצאה הייתה עקומת פעמון.
למעשה, כל כך הרבה ניסויים ומדידות הפיקוּ את אותה צורת פעמון, עד שהיא קיבלה מאוחר יותר את השם "התפלגות נורמלית": כך מתנהג הטבע באופן רגיל.
אנשים הם כמו מים רותחים?
אבל, אתם אומרים בצדק, פיזיקה זה דבר אחד ובני אדם זה משהו אחר. אנחנו לא דלי מים שיש לו טמפרטורה אחת, כל אחד מאיתנו נראה אחרת: גבוה, נמוך, רזה, שמן, קירח, שעיר וכדומה. ההבדלים בין בני האדם נראים אקראיּים לחלוטין.
קטלה דווקא האמין שהוא מסוגל להכניס את בני האדם לתוך המסגרת הנוקשה שהציבה הסטטיסטיקה. אז הוא בחן את מדידות הגובה של 100 אלף טירונים בצבא הצרפתי, וצייר את התוצאות על גרף.
עוד בגליליאו צעיר: התפתחויות מדעיות בחודש ספטמבר
הנתונים התפזרו באופן סימטרי סביב ערך ממוצע כלשהו, למשל מטר ו-70 סנטימטרים. יש הרבה חיילים שגובהם קרוב לערך הממוצע, וככל שמתרחקים ממנו, מספר החיילים יורד. רק חלק קטן מהם מתנשּא לגובה של 1.90 מטרים או 1.50 מטרים.
הוא מדד ומדד, רשם את כל התוצאות, וגילה דבר מדהים: כן כן, לגרף הייתה צורה של פעמון. כמה מוזר!
לכן קטלה החליט למדוד דברים שונים לחלוטין. למשל, את חומרת הפשיעה בכל שנה, או את הגיל שבו זוגות נישאים. גם שם, הוא גילה, הגרף נראה בדיוק אותו דבר.
המשמעות של הממצא הזה מדהימה: המשוואה שמתארת תופעות בעולם הפיזיקה והאסטרונומיה, מתארת גם תופעות שהן לחלוטין לא פיזיקליות. יש קשר חבוי בין שני תחומים שנראים שונים לחלוטין, והקשר הזה הוא מתמטי.
מחקרים של מתמטיקאים מבריקים כמו אבּרהם דּה מוּאבר, גּאוּס ולפּלס, שנעשו עוד קודם לעבודתו של קטלה, הסבירו את מהות הקשר הזה: מתברר, שבכל פעם שאנחנו מודדים משהו שמושפע מגורמים אקראיים שהם בלתי תלויים זה בזה, נקבל התפלגות נורמלית.
למשל, מה הם הגורמים שמשפיעים על מדידת הטמפרטורה בדלי? יש המון כאלה: המקום המדויק של המדחום בתוך הדלי, כּיּוּל לא מדויק של המדחום לפני המדידות, טעויות זעירות בקריאת הטמפרטורה, ועוד. במקרה של גובה אנושי, הגורמים הם גנטיים וסביבתיים: שילוב של המון גנים שונים ובנוסף להם גורמים סביבתיים כמו תזונה, מחלות ועוד.
ההבנה הזו חושפת את המנגנון שעומד מאחורי ההתפלגות הנורמלית: לא משנה מה מודדים, אלא רק מה משפיע על המדידה או הנמדד. אם יש המון גורמים בלתי תלויים המשפיעים עליהם, נקבל התפלגות נורמלית. פשוט, נכון?
המסקנה הזו גרמה למתמטיקאים להכריז שמתמטיקה היא תגלית. הרי אם היא חושפת קשרים בין תופעות שונות התקפים בכל מקום, ברור שהיא לא יכולה להיות המצאה אנושית. הקשר הזה היה קיים שם קודם, עוד לפני שקטלה החליט לחקור אותו, והוא פשוט היה הראשון שחשף אותו.
יש יותר מאמת אחת
בכל זאת, ישנם מדענים אחרים שטוענים בתוקף שהמתמטיקה היא המצאה אנושית טהורה, כמו שיר או ציור. מדוע? הסיפור הבא יסביר זאת.
הגיאומטריה היא ענף במתמטיקה שאנחנו לומדים כבר בבית הספר היסודי: משולשים ישרי-זווית, היקף מעגל, שטח של מרובע, ועוד נושאים שכאלה. הבסיס לכל הגיאומטריה הן האקסיוֹמוֹת, משפטים בסיסיים שהם האמת היחידה, למשל: "בין כל שתי נקודות ניתן למתוח קו ישר".
בגיאומטריה יש עשרה משפטים כאלה. האחראי לניסוחם היה המתמטיקאי היווני אוּקלידס, שחי בסביבות שנת 300 לספירה באלכסנדריה שבמצרים. הוא לא המציא אותן, אלא רק אסף והסביר את עקרונות המתמטיקה שנקבעו עד אותם ימים.
עוד בגליליאו צעיר: שנה חדשה מסביב לעולם
המתמטיקאים האמינו שאת האקסיומות אי אפשר, וגם אין צורך, לשנות. הן היו הבסיס לכל חוקי הגיאומטריה שאנחנו מכירים היום. אפשר להבין את המתמטיקאים האלה: מי יכול לטעון שמשפט כמו "בין כל שתי נקודות ניתן להעביר קו ישר" הוא שגוי? הרי הוא ברור מאליו!
אבל תמיד יש מישהו שחושב קצת אחרת מהאחרים. במאה ה-19 החל מתמטיקאי הונגרי צעיר בשם יאנוֹש בויאי להשתעשע ברעיון משונה. הוא התבונן באקסיומה החמישית, שקובעת שאם משרטטים קו ולידו נקודה, אפשר למתוח דרכה רק קו אחד שיהיה מקביל לקו הראשון. זה אומר שאי אפשר להעביר שני קווים שונים דרך אותה הנקודה, ולצפות ששניהם יהיו מקבילים לקו שלישי, אלא רק אחד מהם.
מה יקרה, הוא שאל את עצמו, אם נחליף את האקסיומה החמישית באקסיומה חדשה? אז הוא החליט שדרך נקודה יכולים לעבור לפחות שני קווים שהם מקבילים לקו הראשון.
מתמטיקה חדשה למציאות אחרת
בשמיעה ראשונה, האקסיומה שהציע בּוֹיאי מגוחכת לחלוטין. אבל אם מתעמקים קצת מבינים שהיא ממש לא כזו: כשמשרטטים את הקווים המקבילים על דף נייר באמת אפשר להעביר רק קו אחד שמקביל אליו.
אבל אם מקפלים את הדף לצורה שמזכירה אוּכּף (כזה ששמים על סוס, לעירוניים מבין קוראינו...), מגלים שאפשר לצייר דרך נקודה אחת שני קווים מקבילים לקו הראשון.
זה אפשרי משום שהגיאומטריה הרגילה (הגיאומטריה האוקלידית) מתרכזת במשטחים דו-ממדּיים, שיש להם רוחב ואורך, ואין להם גובה. ברגע שמקפלים את הדף הישר לצורת אוכף, או כדור או משולש, שיש להן שלושה ממדים (אורך, רוחב וגובה) נחשפת לפתע גיאומטריה חדשה לחלוטין - גיאומטריה לא אוקלידית.
לקווים שמשורטטים על צורות תלת-ממדיות יש תכונות מרתקות שאין לקווים המשורטטים על דפים דו-ממדיים. למשל, אם נלך לאורכו של קו ישר על כדור נגלה שבסוף נחזור לאותה נקודה.
אך ההפתעה האמיתית צצה מאוחר יותר. המתמטיקאי ברנרד רימן חשף ב-1854 שהגיאומטריה הלא אוקלידית תקפה גם לצורות בעלות ארבעה ממדים, חמישה ממדים, שישה, וכן הלאה. מה זה אומר בדיוק? הרי אפשר לזוז לצדדים (רוחב), אפשר לזוז קדימה ואחורה (אורך), אפשר לזוז למעלה ולמטה (גובה), לאן עוד אפשר לזוז?
עם הזמן נתגלה שקיים ממד רביעי - הזמן. אלברט איינשטיין הוכיח בתורת היחסות שלו שהזמן הוא ממד שדומה לרוחב, אורך וגובה, ורק כשמתייחסים אליו כך ניתן להסביר כמה תופעות משונות שבהן נתקלים בתצפיות על היקום ואפילו כאן בכדור הארץ.
ומה לגבי הממדים הנוספים? האם גם הם קיימים? אנחנו לא יודעים. הגיאומטריה הלא אוקלידית יכולה לתאר אפילו צורות בעלות אלף ממדים, אבל אנחנו עדיין לא נתקלנו בהן. זו הסיבה שחלק מהמתמטיקאים מאמינים שהמתמטיקה היא המצאה אנושית, ואינה בהכרח מתארת את העולם כמו שהוא.
אפשר גם וגם?
העולם אינו שחור או לבן ויש בו הרבה אפור באמצע. וזה מה שחושבים חלק אחר מהמתמטיקאים – הם מאמינים שהאמת משלבת את שתי הגישות. אולי המספרים, המשולשים ושאר הרעיונות הבסיסיים של המתמטיקה הם המצאה אנושית, כמו החוקים במשחק שחמט.
ואז כל הקשרים, המשפטים והתובנות שנובעים מאותם רעיונות בסיסיים הם התגליות, כמו שאלופי עולם בשחמט מבצּעים מהלכים מבריקים עם אותם כלי משחק, ובציות לאותם חוקים שלהם מצייתים שחקנים חובבים.
הגישה הזו אומרת שהיקום עובד בצורה כזו שאם רק נגדיר בו סדרה של כללים בסיסיים, יתגלה ההיגיון הפנימי שלו. כלומר, ייתכן שאם המתמטיקאים הקדמונים היו ממציאים כללים מתמטיים בסיסיים שונים מאלו שאנחנו מכירים, היינו מגיעים לתובנות כמו עקומת הפעמון - רק בדרך אחרת.
אז מה אתם אומרים? המצאה או תגלית? האם המתמטיקה תמיד עמדה מאחורי התנהגותו של היקום, או שבני האדם היו צריכים להמציא אותה כדי להסביר מה מתרחש בעולם שמסביבם?
חשבו על זה קצת. הדבר הוודאי היחיד הוא שהמתמטיקה קיימת, ושהיא מסבירה לנו המון תופעות ביקום. ואולי פעם אחד מכם יצליח ליצור חוקים וכללים חדשים, שיביאו את האנושות למקומות רחוקים רחוקים.
הכתבה התפרסמה במגזין "גלילאו צעיר" מבית מוטו תקשורת.
לכתבות נוספות של גליליאו צעיר באתר ifeel.
להעמקה נוספת בנושא מומלץ לקרוא את ספרו של מריו ליביו, "האם אלוהים הוא מתמטיקאי".
לפנייה לכתב/ת 
