סיפורה של משוואה: חוק התנועה השני של ניוטון
חוק התנועה השני של ניוטון, F = ma, הוא נשמת המכניקה הקלאסית. אך הדרך לניסוח המשוואה הייתה ארוכה ומורכבת: רוברט קריז, מחבר הספר "המשוואות הגדולות", מזמין אתכם למסע היסטורי בעקבותיה של משוואה. קטע מתוך הספר
המסע בעקבות המשוואה המפורסמת של ניוטון, F = ma, החל בימי קדם, כשבני אדם ראו את העולם כנשלט בידי אלים. הראייה הזאת היתה טבעית ובלתי נמנעת, אולי הדרך הפשוטה והישירה ביותר לתת פשר לדברים. כל בני האדם רכשו להם מושג של כוח איש-איש מניסיונו הפרטי, מהדחיפות והמשיכות של חיי היומיום, מהפעלת השרירים כדי להרים, לדחוק או לגלגל דברים.
מהכללת הניסיון הזה יכלו הקדמונים בקלות לתפוס את הטבע וכל אשר בו – מתופעות קרובות כגון הרעם והגשם ועד תנועות של גופים רחוקים כמו השמש והכוכבים – כתולדה של התנהגות טובה או רעה של רוחות ושדים, המפעילים את כוחותיהם הפנימיים הסגוליים. לכן הרעיונות הקדמוניים על הכוח היו קשורים קשר הדוק לרעיונות דתיים על נוכחותם הישירה של האלים בעולם.
התפיסה האריסטוטלית
הפילוסוף היווני אריסטו (322-384 לפסה"נ) היה, ככל הידוע לנו, הראשון שתיאר באופן שיטתי סוגי תנועה או שינוי – הוא השתמש באותה מילה יוונית, קינֵזיס, לבטא את שני הדברים. הקינזיס חשוב כל כך, סבר, שהבנתו שקולה להבנת הטבע עצמו, והוא יצר מסגרת שתכלול את כל צורות הקינזיס: של עצמים חיים ודוממים, עם או בלי התערבות אדם, בארץ ובשמים.הוא הבחין בין כמה סוגים של קינזיס: השינוי המהותי של דבר שנולד או מת (אש המאכלת בול עץ); השינוי הכמותי של דבר שגדל או מתכווץ; השינוי שבו תכונה אחת נהפכת לתכונה אחרת (עלה ירוק שמשחים); ותנועה מקומית, או דבר שמשנה את מקומו.
אריסטו צפה בשינויים אלה בעין של מומחה בביולוגיה. הוא ראה את העולם כמין מערכת אקולוגית קוסמית המכילה דרגות רבות ושונות של ארגון. התנועה במערכת האקולוגית הזאת כמעט לעולם אינה אקראית או כאוטית, אלא היא תהליך של מעבר ממצב אחד למצב אחר, שבו משהו שקיים רק בכוח (כעיקרון פורמלי), הולך ומתממש בפועל.
חוקי ניוטון
עץ התפוח של ניוטון מגיע לחלל
ד"ר גלי וינשטיין
ניוטון אולי לא שיער שיום אחד האנושות תגיע לחלל, אבל בשישי הקרוב ניוטון יטוס לחלל על סיפונה של המעבורת "אטלנטיס": אסטרונאוט בריטי יקח לחלל פיסה מעץ התפוח שהעניק השראה למדען ובנוסף גם תמונה של הגאון ששינה לגמרי את פני המדע
רמות רבות של ארגון בנויות זו על גבי זו – בני אדם יוצרים מדינה, איברי גוף יוצרים אדם – ולכן כל אירוע מתעצב על ידי רשת מורכבת של סוגי סיבות שונים.
אריסטו הבין את המערכת האקולוגית הקוסמית הזאת במסגרת של סדרת הבחנות יסוד. הוא הבחין, למשל, בין שני סוגי תנועה : תנועה טבעית ותנועה אלימה וכפויה. תנועה טבעית היא תנועת הדברים הנעים בעצמם בבתי הגידול שלהם – בלוט הצומח ונהיה אלון, או ביצה שנהיית תרנגולת – והשינוי מוציא מן הכוח אל הפועל עיקרון שטבוע בחומר עצמו.
תנועה אלימה או כפויה מתרחשת כשהשינוי נכפה מבחוץ, כמו שקורה לעץ אלון כשבני אדם כורתים אותו לבנות בית, או לתרנגולת כשבני אדם שוחטים אותה כדי לאכול את בשרה.
גם מקום התרחשות השינוי היה חשוב בעיני אריסטו. בתחום הארצי שמתחת לירח, החומרים מורכבים מתערובות שונות של אדמה, אוויר, אש ומים, והעצמים אינם נעים בתנועה רצופה ומתמדת אלא לסירוגין. בתחום השמימי, העצמים עשויים חומר בלתי משתנה הנקרא "אֶתֶר" ונעים ללא הרף בתנועה מעגלית.
אם כיום נראה לנו ההסבר הזה חסר הצדקה, אין זה אלא מעיד עד כמה התרחקנו מהימים של אריסטו ועד כמה השתנתה ראייתנו, שכן רעיונותיו היו מבוססים על טיעונים רציונליים, היקשים לוגיים והתבוננות קפדנית. במשך מאות בשנים, אסטרונומים ביוון ובמקומות אחרים לא היו עדים לשינויים כלשהם בהתנהגות גרמי השמים ולא ראו אלא תנועה מעגלית.
רק תנועה מעגלית יכולה להימשך בלי הרף, סבר אריסטו, ורק חומר מיוחד במינו, שאינו מוכר על פני האדמה (ומכאן השם המוזר אתר), אינו נתון לשינויים. בתחום השמימי, ראשית התנועה נגרמת על ידי מניע בלתי מונע, שמושך את הכדורים השמיימיים לתנועה.
זו האנלוגיה של אריסטו לאלוהים, אף על פי שאֵל זה הוא בלתי אישי לחלוטין ולא דבר שאפשר לנהל אתו מה שאנו במאה ה-21 מכנים "יחסים". הספירות, באמצעות מתווכים שונים, מעבירים את התנועה אל הכדור הארצי. לכן כל התנועות במערכת האקולוגית הקוסמית, זעירות ככל שיהיו, קשורות על דרך התיווך לעיקרון הראשון של היקום, ובסופו של דבר בהקשר זה יש להבין אותן.
בדרך לניוטון: אריסטו(צילום: ויז'ואל/פוטוס)
אירועים כאלה נובעים מרשת סבוכה של מטרות, תוכניות ותכנון שיוצאים מהכוח אל הפועל, והתנועה המקומית היא רק היבט אחד שלהם. וכשאריסטו אכן דן בהיבט הזה, הוא אינו מציג היפותזה כלשהי על תנועה מקומית ומגן עליה במנותק מן האירוע עצמו, אלא מדבר במונחים כלליים על העבודה הדרושה לביצוע מטלות כאלה כדי להמחיש איזו נקודה אחרת.
יתר על כן, באירועים כאלה, תפקיד התאוצה כמעט לא קיים, וכללי אצבע כגון "כוח שמניע גוף כנגד התנגדות מסוימת מרחק מסוים בפרק-זמן מסוים, מניע את אותו הגוף מחצית המרחק במחצית פרק-הזמן" מספיקים בהחלט.
אף שבשלב מסוים, בקביעה שעתידה היתה להיוודע לשמצה כעבור אלפיים שנה עקב הניסויים בגופים נופלים, הוא מציין: "אם מחצית המשקל עוברת את המרחק בפרק-זמן נתון, הכפולה שלה (היינו, המשקל כולו) תעבור את המרחק במחצית הזמן".
מהירות ותאוצה
אריסטו ובני תקופתו לא הכירו אף אחד מרְכיבי המפתח של F = ma. המושג מהירות במחשבתו של אריסטו פירושו היה שדברים מסוימים עוברים באותו פרק-זמן מרחק גדול יותר מעצמים אחרים – מה שאנחנו מכנים מהירות ממוצעת או כוללת, בניגוד למהירות רגעית, או מהירות ברגע מסוים.
המושג תאוצה אמר פשוט שעצמים מסוימים נעים מהר יותר כשהם מתקרבים אל מקומם הטבעי. לא היה לו שום מושג של מסה, של התנגדות לכוח דוחף, שאינה זהה למשקל. ולא היה לו כל מושג כמותי של "דינָמיס", כושר התנועה ואף לא יחידות כלשהן למדידתו.
אף על פי כן, היה היגיון בראייה זו של הטבע כמערכת אקולוגית עצומה המורכבת מסוגים שונים של חומרים שפועלים באמצעות כל מיני דחפים פנימיים על חומרים אחרים, משפיעים עליהם, ומושפעים מהם בחזרה, ולכל דבר יש תכלית, והכל הכרחי לשם קיומה של המערכת על תחומיה השונים זה מזה שוני איכותי.
הבנת הטבע הצריכה ראייה של תופעותיו במצבן המושלם – "מושלם" במובן של מימוש באופן מלא (העץ הבוגר, האדם בשיא אונו, החברה המתפקדת היטב), התופעות שהשיגו את מלוא תכליתן, את ה"טֶלוס" שלהן, שכן במצב זה, הלמה והאיך של התופעות גלויים וברורים ביותר.
אריסטו אהב לומר שהחכם מבקש דיוק רק במידה שהנושא שהוא עוסק בו מאפשר אותו. הוא תיאר את מה שראה ברמת הדיוק המתאימה ביותר שיכול לתאר. מה שנראה חשוב להבנת התנועות בטבע היה התפקיד שדברים כמו צורה, חומר ותכלית ממלאים בתהליך היציאה מן הכוח אל הפועל. ואלה קשורים בסופו של דבר אל המניע הבלתי מונע, המתַקשר בכוח האהבה באמצעות הכדורים החיצוניים עם הירחואחרי כן עם העולם התת-ירחי, הארצי.
צעדים מעבר לאריסטו
לתמונת הטבע של אריסטו היתה השפעה אדירה על התרבות המערבית. רעיונותיו הועברו מדור לדור על ידי תלמידי הליקֵיאוֹן, בית הספר שהוא הקים, ועל ידי פרשנים של יצירותיו - בתחילה יוונים ואחר כך, מהמאה ה-9 ועד ה-12, ערבים, שמפיהם למדו אחר כך מלומדים במערב על אודות אריסטו.
ואולם היבטים מסוימים בתמונה של אריסטו לא הניחו את הדעת, אפילו לא את דעתו שלו. למשל, הוא שאל את עצמו איך דברים כמו קליעים ואובניים של קדרים נעים אחרי הדחיפה הראשונה. אם המניע צריך להיות במגע מתמיד עם המונע, למה אבן או חץ אינם צונחים ארצה לאחר שעזבו את היד או את הקשת?
אריסטו שקל שתי אפשרויות. האחת, שהמניע (המשליך או הקשת) מטמיע או מטביע כוח בתווך (אוויר) שמסביב לקליע (אבן או חץ), וכוח זה הוא שמחזיק את העצם בתנועה. ההסבר האחר, דוקטרינת האנטיפֶּריסטַזיס, היה שאוויר המועתק ממקומו לפני הקליע עובר במהירות לאחור ודוחק את הקליע קדימה. אריסטו לא היה שלם עם שום הסבר משני ההסברים.
הוגים שבאו אחריו גם הם לא היו מרוצים מכך ומיסודות אחרים בתיאור התנועה של אריסטו. מקצת ההשגות היו לוגיות, מקצתן אמפיריות, ומקצתן גם לוגיות וגם אמפיריות.
התוצאה היתה דיון, חקירה ותיקון של המושגים של אריסטו, הכנסת מושגים חדשים, וכך, במסע של אלפי שנים, חלה תזוזה אטית של תשומת הלב אל היבטים אחרים של התנועה, ואלה עתידים להוביל, בסופו של דבר, אל F = ma. במהלך המסע אנחנו עוברים מרחק רב בלי לראות שום דבר שדומה למרכיבי המשוואה הזאת. אך כל צעד וצעד במסע זה היה חיוני. להלן נעמוד על כמה מהם.
במאה השלישית לפסה"נ, סְטְרַטון (268-340 לפסה"נ), יווני מלַמְפְּסַקוּס באסיה הקטנה, שב-287 היה לראש הליקיאון, פיתח והרחיב את מחשבתו של אריסטו בספר רב השפעה ששמו על התנועה. סטרטון נוכח לדעת שעליו לתקן ואפילו לדחות כמה מהרעיונות של אריסטו כדי ליישב את תורתו עם הלוגיקה ועם הניסיון.
אחד מאלה היה הרעיון שיש שני סוגים של תנועה טבעית: למעלה ולמטה. סטרטון טען שכל הדברים יורדים באופן טבעי למטה לעבר מרכז כדור הארץ ואם דברים קלים כמו אש ועשן עולים למעלה, הרי זה משום שהם מועתקים ממקומם או "נדחקים החוצה" על ידי חומר כבד יותר.
סטרטון הוטרד גם משתי תצפיות שהצביעו כמדומה על כך שעצמים צוברים מהירות בנפילתם. האחת היתה שכאשר מי גשמים הנשפכים למטה מגג, הזרימה היא רציפהבתחילה אבל אחר כך הזרם נשבר לטיפות, דבר שלא היה יכול לקרות אילולא גברה מהירות הזרימה של המים.
התצפית השנייה היתה שכאשר מפילים אבן לארץ ממקום גבוה, היא מתנגשת בקרקע בעוצמה רבה יותר מאבן שמפילים אותה סמוך לפני הקרקע. איך זה ייתכן? האבן לא נעשתה כבדה יותר! היא כנראה צברה מהירות, הסיק סטרטון, מה שאומר שגוף נופל "משלים את הקטע האחרון של מסלולו בזמן הקצר ביותר", מושג בסיסי של תאוצה, ורעיון מפותח יותר מזה של אריסטו.
פילופונוס
במאה השישית לסה"נ המשיך יואנֶס מפילוֹפּוֹנוּס (המכונה "המדקדק", 570-490 לערך) בתיקון רעיונותיו של אריסטו על התנועה. פילופונוס טען, בהתבסס על טיעונים לוגיים, שהתנועה ברִיק אפשרית (בניגוד לדעת אריסטו), ופתר את השאלה מה קורה כאשר הכוח שווה להתנגדות כשהצהיר שהמהירות נקבעת על ידי עודף של כוח לעומת התנגדות.
למיטב ידיעתנו, פילופונוס היה גם הראשון שערך ניסויים בגופים נופלים בעלי משקל שונה וגילה, כפי שעתיד היה לגלות גליליאו אלף שנים אחר כך, שהם נופלים כמעט באותה מהירות. אבל התיקון המקורי והמרחיק לכת ביותר של רעיונות אריסטו היה קשור לתנועת הקליע.
פילופונוס דחה את רעיון האנטיפריסטזיס; אם המניע מוסר תנועה לאוויר שמאחורי הקליע, למה איננו יכולים להעיף אבנים וחצים לאוויר על ידי בחישת האוויר שמאחוריהם בידינו? פילופונוס העלה השערה שכשאנו משליכים אבן, היד שלנו מטביעה כוח לא באוויר אלא באבן עצמה.
"הכוח המוטבע" הזה גורם לתנועה להימשך מתוך פְּנים הקליע עצמו, אך לאט לאט הוא כלה בהתגברות על התנגדות התווך ובשל הכוח הטבעי הפועל כלפי מטה, עד שלבסוף הוא אוזל והתנועה הטבעית תופסת את מקומו או שהאבן פוגעת בקרקע.
השקפה זו עדיין נאמנה לרעיונות של אריסטו משום שהיא מתבססת על ההנחה שעצם אינו נע בכוחות עצמו אלא נדרש לו תמיד מגע עם סיבה אחרת כלשהי, כמו המשקל של גוף נופל או הכוח המוטבע בו שמקורו ביד. החידוש היה שהסיבה הזאת יכול להיות פנימי לגוף הנע ולא חיצוני.
רעיון זה הוליך את פילופונוס ואת חסידיו לראות את העולם ראייה שונה. הם לא היו צריכים עוד להבחין בין תנועה טבעית לתנועה כפויה, ואף לא להפריד בין התחום השמימי לתחום הארצי. האל ברא את השמים ואחרי כן השתמש בכוח המוטבע כדי לגרום לגרמי השמים להמשיך לנוע, שהרי אין בשמים תָווך שיכול לכלות את הכוח הזה.
השפעתו של פילופונוס סייעה להסב את תשומת לבם של המלומדים המבקשים להבין את התנועה מנקודת הסיום שלה – המטרה או התכלית של התנועה, אם על פני הארץ או בשמים – אל נקודת ההתחלה שלה, או מה שהניע אותה מלכתחילה.
סר אייזק ניוטון(מתוך מאגר Gettyimages Imagebank)
האימפטוס נשמע דומה למה שקרוי בפינו התמדה (אינרציה), אבל שלא כהתמדה , הוא עדיין היה סיבה. המסגרת החדשה עדיין היתה אפוא אריסטוטלית, שכן שמרה על ההבחנה בין תנועה טבעית לתנועה אלימה והחזיקה בדעה שקליע, כגון אבן או חץ, מונע באופן רצוף על ידי פעולה של סיבה, אף שסיבה זאת (האימפטוס) פועלת בתוך הגוף ולא, כפי שטען אריסטו, מחוצה לו.
אבל כמה תמיהות אריסטוטליות יסודיות – כמו תנועת הקליע וכיצד גופים נופלים – נעלמו, שכן משליך האבן מעביר את האימפטוס אל האבן ולא אל התווך, ואילו גוף נופל משיג אימפטוס תוך כדי נפילתו, מה שמסביר מדוע הוא צובר מהירות.
רעיון האימפטוס סייע ליצור מושג ראשוני של מסה - של ההתנגדות של גוף השונה ממשקלו - משום שעצמים כמו פגזי תותח יכולים "להחזיק" אימפטוס רב יותר מאשר עץ קל. רעיון זה גם הסביר מדוע הכדורים השמימיים נעים לעד בלי התערבות של כוח עליון: מאחר שאין בשמים התנגדות, הכדורים השמימיים אינן זקוקות להתערבות. האל יצר את הכדורים השמימיים ונתן להם אימפטוס, ועל כן יכול לנוח ביום השביעי בלי שהעולם שברא יאט את תנועתו וייעצר.
תפקיד האל הפוך אפוא מתפקידו לפי גרסת אריסטו: האל אינו הסיבה התכליתיתהפעילה תמיד ומניעה את הכדורים השמימים ואליה הן שואפות, אלא הוא הסיבה הפועלת שהניעה אותן מלכתחילה.
ב-300 השנים הבאות השתמשו מלומדים ברעיון האימפטוס כדי להבין ולהסביר תנועה. רעיון זה הקטין, אך לא ביטל לחלוטין, את הצורך להבחין הבחנה איכותית בין תנועות טבעיות לתנועות אלימות, בין סוגים שונים של חומרים, ובין שמים לארץ.
הוא סלל את הדרך להתפתחותו של רעיון המסה: צפיפות פנימית כלשהי של חומר בגוף שמתנגד לכוח, שקשורה אך אינה זהה למשקל הגוף. מלומדים החלו להתבונן בתנועה כשהיא לעצמה– במה שהפילוסוף צ'רלס טיילור מכנה "המסגרת האימננטית" – ולחקור אותה, מבחינות מסוימות (אך לא מכל הבחינות), בלי קשר למטרות, לתוכניות ולתכנון של שאר היקום. הם מתחילים לראות את מה שאנחנו מכנים הפרדה בין הפיזיקה והמטאפיזיקה. עולם המדע ועולם החיים החלו מתרחקים זה מזה.
קטע מתוך הספר "המשוואות הגדולות" מאת רוברט פ. קריז בהוצאת "כתר".
לפנייה לכתב/ת 
עטיפת הספר
עטיפת הספר
רוברט פ' קריז
צילום: מנזלפוטו
