האם "זוג או פרט" הוא משחק הוגן?

לכאורה לא יכול להיות משחק הוגן מ"זוג או פרט": זוגי או אי-זוגי, ניצחון או הפסד, להיות או לא להיות. הרי זה משחק המזל הכי בינארי שאפשר להעלות על הדעת, משחק עם סיכויי הצלחה של 50-50, נכון? אבל האם באמת הסיכויים של שני הצדדים שווים, או שמא יש לנו דרך להטות כך את המשחק לטובתנו? ומה זה בכלל "פרט"?

עוד כתבות באתר מכון דוידסון

האבולוציה שהולכת לאחור

כפפות של משי להגנה על פירות

ללמוד בלי מערכת עצבים

המשחק מתנהל כך: השחקנים בוחרים מראש מי מהם הוא ה"זוג" ומיהו ה"פרט", ואז כל אחד מראה מספר כלשהו של אצבעות בכף יד אחת - בין אחת לחמש בו-זמנית - ומחשבים את הסכום. אם התוצאה זוגית, מנצח שחקן ה"זוג". אם לא, ה"פרט" ניצח.

זוג או פרט(צילום: shutterstock)

מתחלק בשתיים?

שאלת ההוגנות היא ערך חשוב במשחק, ואפשר לבחון אותה בכלים מתמטיים פשוטים. הטבלה שלמטה ממחישה מדוע המשחק אינו הוגן. היא מראה את כל זוגות המספרים האפשריים שיכולים להיווצר מחמש אצבעות של שני שחקנים ואת סכומיהם: 25 בסך הכול. אבל רגע - 25 זוגות? כאן כבר אמור להתעורר החשד, שהרי 25 אינו מספר זוגי ואי אפשר לחלק אותו באופן שווה בין שני שחקנים ללא שארית. לכן אנחנו יכולים לדעת מראש שהמשחק אינו הוגן, אפילו בלי שניסינו לשער לצד מי הוא נוטה ובאיזה פער.

(קרדיט: מכון דוידסון)

עיון מהיר בטבלה מלמד ש-13 מ-25 זוגות התוצאות נותנים סכום זוגי, ורק 12 מהסכומים הם אי-זוגיים. הפער קטן, אך מכריע - ממש כמו המשחק עצמו.

אפשר לייצג את התוצאות גם במודל רציף, בעזרת שינוי קל של סדר המספרים וחלוקה שלהם לזוגיים ואי-זוגיים. מה שמתקבל הוא ריבוע בגודל של 1x1, ששטחו 1 יחידת שטח, בדיוק כמו ההסתברות של סכום כל התוצאות האפשריות.

כאן, במקום לספור את התוצאות אנחנו יכולים להתבונן בשטחים חלקיים של הריבוע ולהשוות ביניהם, או לחלופין לספור את שטחן היחסי של המשבצות מכל סוג מתוך כלל המשבצות. גם כאן קל לראות את הפער בין שטחי הריבועים הכחולים (3/5x3/5+2/5x2/5), שמבטאים את הסכומים הזוגיים (הסכום של שתי תוצאות אי-זוגיות או שתי תוצאות זוגיות הוא זוגי), לבין שטחי שני המלבנים האדומים הזהים (3/5x2/5 בכל אחד), שבהם נמצאים סכומים אי-זוגיים.

(קרדיט: מכון דוידסון)

צודקים מכל הסיבות הלא נכונות

גם מטעויות אפשר ללמוד הרבה. מתברר שיש מי שיאמר שהמשחק אכן אינו הוגן, אולם ינמק את זה בטיעון מוטעה. כך זה הולך: הסכומים האפשריים הם המספרים הטבעיים מ-2 עד 10 ועד בכלל, ומספר הזוגיים ביניהם גדול ב-1 מזה של האי-זוגיים.

מדוע לא נכון לחשוב באופן הזה על התוצאות האפשריות? משום שההסתברות של התוצאות האלה אינה שווה. הסיכוי לקבל את הסכומים שבמרכז גבוה יותר מאשר אלה שבקצוות. למשל ההסתברות לקבל סכום של 6 היא 0.2 (5/25), ואילו ההסתברות של הסכומים 2 או 10 היא רק 0.04 (1/25). לכן אי אפשר להסתכל עליהם באופן שוויוני.

יהיו גם מי שיטענו בטעות שהמשחק הוגן בגלל החלוקה הדיכוטומית ל"זוגי" ו"אי-זוגי". גם פה רואים אותה שגיאה: התייחסות למצבי "או א' או ב'" כתוצאות שוות הסתברות, אף על פי שכבר ראינו שהסיכוי לקבל מספר זוגי קצת יותר גבוה. אולי זה גם מסביר את הגלגול שעבר המשחק לגרסה שכוללת רק את האבטיפוס שלו, כלומר משחק בשתי אצבעות. בגרסה הזאת, השחקנים מניחים שאין הבדל בין 1 ל-3 ול-5, או בין 2 ל-4, ולכן מסתפקים בבחירה הבסיסית בין 1 ל-2. כך הם יוצרים – אולי בלי כוונה – משחק הוגן, גם אם הוא נובע מתפיסה מוטעית.

ואם כבר גלגולי גרסאות, יש גם שחקנים שמוסיפים למשחק את האפשרות של אפס, או שמסתפקים בארבע אצבעות במקום חמש. בשתי הדרכים האלה מספר הסכומים האפשרי הוא זוגי וההסתברות ל"זוג" ו"פרט" זהה. מי יודע, אולי חכמת ההמונים יצרה את התיקונים האלה וגלגלה את המשחק לגרסאות ההוגנות שלו?

ולבסוף, עוד קצת חומר למחשבה: נניח שאנחנו שחקנים רציונליים שיודעים היטב הסתברות. במצב כזה, נאמר שדני הוא שחקן "זוגי", והוא יודע שרוב הסיכוי שחברתו רונית תציג מספר אי-זוגי של אצבעות (3/5). לכאורה כדאי לו להציג גם הוא מספר אי-זוגי, כדי שהסכום של שתי התוצאות ייצא זוגי. אבל הוא יודע שגם רונית רציונלית ושהיא יודעת שהוא יודע מה הכי סביר שתעשה. אז אולי היא תשנה את דעתה ותציג דווקא מספר זוגי - ואז כדאי גם לדני להציג מספר זוגי. נראה פה שהשחקנים עלולים להפוך ל"קורבנות הרציונליות".

הכותבת עובדת בזרוע החינוכית של מכון ויצמן למדע

רוצים לנסות לשחק משחק אחר מול מחשב? מי, לדעתכם, ינצח ב"אבן, נייר ומספריים "?

המאמר פורסם באתר מכון דוידסון, הזרוע החינוכית של מכון ויצמן למדע. ביום חמישי הקרוב יתקיים במכון דוידסון הכנס ה-12 למשחקי חשיבה