בעיית יוספוס: כך תהיה השורד האחרון
זו הדילמה שעמדה בפני יוסף בן מתתיהו ביודפת, בשנת 67 לספירה: היכן לעמוד במעגל מתאבדים כדי להישאר בחיים? צפו בפתרון המתמטי
במעגל מתאבדים, איפה צריך לעמוד כדי להיות השורד האחרון? זו השאלה שעמדה בפני ההיסטוריון היהודי יוסף בן מתתיהו (יוספוס פלביוס) כשעמד במעגל שכזה עם 40 יהודים ביודפת שבגליל, שבחרו לשים קץ לחייהם כדי שלא ליפול בשבי הרומי.
המתמטיקאי דניאל ארמאן גילה כי אם כל לוחם הרג את זה שלצדו, יוסף בן מתתיהו היה חייב לעמוד בעמדה 19 במעגל. "בעיית יוספוס" פורסמה בערוץ היוטיוב "נמברפיל" בחודש האחרון, וכבר חצי מיליון צפו בסרטון.
המקרה אירע בשנת 67 לספירה, בתחילת המרד הגדול נגד הרומאים שהסתיים בחורבן בית המקדש השני, שלוש שנים אחר כך. במערה הסתתרה קבוצה של 40 מנכבדי העיר יודפת, שהייתה נתונה במצור, עד שהרומאים גילו את מקומם. יוסף בן מתתיהו ניסה לשכנע אותם להיכנע, אך הם איימו כי ירצחו אותו אם יסגיר עצמו.
אז פנה אליהם יוסף בהצעה: כולם יתאבדו ופור יקבע את סדר הריגתם, כאשר כל פעם מי שעולה בגורל יומת על ידי חברו הבא אחריו. בסופו של דבר נשאר יוסף אחרון עם אדם נוסף, שכנע את חברו שלא להתאבד והשניים הסגירו את עצמם לרומאים.
רצף מעשי ההרג לא ממש ברור, אבל אם כל הנכבדים עמדו במעגל, וכל אדם הרג את זה שמשמאלו - ניתן לדעת היכן עמד השורד האחרון. לפי הסדר, הראשון הרג את זה שמשמאלו, הבא אחריו שבחיים הרג את זה שמשמאלו, וכך הלאה. בתום סיבוב המוות הראשון, התהליך נמשך, עד שאמור להישאר רק אדם אחד, שאמור לשים קץ לחייו.
"בוא נגיד שיש שבעה אנשים במעגל", מפשט את הבעיה המתמטיקאי ארמאן מאוניברסיטת ויסקונסין-מדיסון בארצות הברית. "במקרה כזה, האדם שבעמדה 1 הורג את זה שבמספר 2. מספר 3 הורג את מספר 4, ומספר 5 הורג את 6. ואז מספר 7 הורג את אחד, מספר 3 הורג את 5, וכך נותר מספר 7 כשורד האחרון".
בדיקה שכזו עם מספרים שונים של עומדים במעגל מראה שבכל מקרה אלו שנמצאים בעמדות של המספרים הזוגיים לא שורדים - גם אם במעגל אין מספר זוגי של אנשים. בנוסף, בכל פעם שמספר האנשים הוא חזקה של 2 (2, 4, 8, 16, 32 וכו'), השורד האחרון יהיה זה שבעמדה 1.
הסרטון המלא:
אבל אם אין מדובר בחזקה של 2, זה כבר מסובך יותר. או אז, השורד האחרון יהיה זה שתורו להרוג כאשר מספר האנשים שנותרו שווה לחזקה של 2. מספר האנשים ההתחלתי במעגל של יוסף בן מתתיהו הוא 41, והמספר הגבוה ביותר של חזקה 2 שנמוך מ-41 הוא 32 (2 בחזקה 5).
מכאן נובע שאתה רוצה ש-32 אנשים עדיין יהיו בחיים כשתורך לקחת חיים מאדם אחר. ארמאן מסביר זאת כך בסרטון של "נמברפיל": אם כל אדם שני מת, אתה צריך להיות בעמדה שהיא פי 2 ההפרש בין 41 ו-32 (9) - ועוד אחד, יוסף בן מתתיהו עצמו. המשוואה למציאת המיקום המנצח במקרה זה היא לפיכך 19=1 + 9 * 2. ויוסף בן מתתיהו, אם זו אכן הייתה שיטת ההרג, עמד בעמדה מספר 19.
לפנייה לכתב/ת 
