הפיזיקה של בניית פירמידות

איך נבנו הפירמידות? יש מי שמשוכנעים שהם יודעים את התשובה: היות שבני האדם בתקופה שבה נבנו הפירמידות במצרים, לפני אלפי שנים, לא יכלו להקים מבצעים הנדסיים כאלה, הן נוצרו בידי... חייזרים. אף הסבר אחר אינו מתקבל על הדעת בעיניהם. והנה, באוגוסט 2014, אלפי שנה אחרי הקמתן, מצאו פיזיקאים מארצות הברית הסבר אפשרי לדרך בנייתן, בידי בני אדם ארציים לגמרי. אז איך הם עשו את זה? מה ידעו המצרים הקדמונים שאיננו יודעים היום?

עוד כתבות באתר מכון דוידסון, הזרוע החינוכית של מכון ויצמן:

מדוע ארוחה גדולה מרדימה?

מה גורלה של גופה בחלל החיצון?

המוציא לחם מן הגֵנים

הכל על מדע באפליקציה של מכון דוידסון - להורדה באייפון ובאנדרואיד

הפירמידות הראשונות נבנו לפני יותר מ-4,500 שנה במצרים, בימים שבהם עוד היו ממותות בעולם, כדי לשמש אתרי קבורה של פרעונים. הן היו אחד משבע פלאי העולם העתיק, והיחיד מהשבעה ששרד עד ימינו. הן מורכבות מאבנים ענקיות שרובן שוקלות כ-2.5 טון וקצתן מגיעות אפילו ל-80 טון. השאלה איך שינעו את האבנים הענקיות אלו והרימו אותן שנויה במחלוקת עד היום.

(צילום: עינב ברזני)

הפירמידות הראשונות נבנו מאבני שחם (גרניט) חזקות. בחלוף הזמן החלו לבנות פירמידות קטנות יותר ואיכות הבנייה שלהן פחתה גם היא עקב המעבר לשימוש בסלעי גיר רכים וזולים יותר. באופן לא מפתיע, דווקא הפירמידות העתיקות נשמרו טוב יותר בחלוף השנים בזכות איכות חומרי הבנייה. אגב, בניגוד למה שנהוג לחשוב, בוני הפירמידות לא היו עבדים, אלא כנראה עובדים בשכר שהתגוררו באזור.

אחת הפירמידות השמורות והבולטות ביותר היא הפירמידה של גיזה, שבנויה מ-2.3 מיליון גושי אבן ומשקלה הכולל מוערך ב-5.9 מיליון טונות. חוקרים מעריכים שבנייתה ארכה 20 שנה, כך שהבונים היו צריכים לבנות בקצב ממוצע של 800 טון ביממה. מכאן עולה השאלה איך סוחבים מאות אבנים ביום, שכל אחת מהן שוקלת כמה טונות, בלי להיעזר במנופים חשמליים ובמשאיות ממוזגות?

(צילום: איי פי)

הקטנת כוח החיכוך

אחת התיאוריות שהוצעו הייתה שהפועלים גררו את האבנים על חול שהרטיבו במי נהר הנילוס הסמוך. לפי התיאוריה הזו, המים הקטינו ב-40 אחוז את החיכוך בין האבנים לאדמה ואפשר לגרור אותן לאתר הבנייה. כוח החיכוך f, שפועל תמיד נגד כיוון התנועה, שווה למקדם החיכוך µk בין האבן והאדמה כפול הכוח הנורמלי N שפועל על הגוף, שכאשר התנועה אופקית שווה למשקל האבן: f=µkmg. כדי לדחוף את האבן קדימה צריכים הפועלים להפעיל כוח גדול יותר מכוח החיכוך F>f כך שככל שמקדם החיכוך נמוך יותר כך קל יותר לדחוף את האבן.

כמה חזק צריך לדחוף? הכוח שיש להפעיל תלוי בחיכוך ובמסה של העצם שדוחפים. סיכום הכוחות הפועלים על גוף

אולי השיטה הזו הייתה שימושית במצרים, אך אתרי פירמידות רבים נמצאים רחוק מאוד ממקור מים כלשהו, (למשל בסודן). היות שהעברת מים בכמויות הנדרשות כדי להרטיב את החול באתרי הבנייה היא פרויקט מסובך אף יותר מהסעת האבנים, לא ייתכן שגם שם השתמשו בשיטה הזאת.

האבנים המתגלגלות

לפי תיאוריה נוספת, שהעלה ג'ון בוש ב-1977 במאמרו "האבנים המתגלגלות", המצרים הקדמונים קשרו לאבנים חלקי עץ מעוגלים בארבעת הצדדים. כך יכלו לגלגל אותן במקום לגרור, על משטחים שהניחו לאורך הדרך מבעוד מועד ולהקל מאוד את המלאכה.

מדוע קל יותר לגלגל עצם כלשהו מאשר לגרור אותו? כשגוררים עצם נוצר חיכוך (חיכוך קינטי) בשטח המגע בין העצם למשטח, וכדי לגרור את העצם יש להתגבר עליו. לעומת זאת, כשמגלגלים את העצם אין כמעט מגע בינו לבין המשטח, ונקודת המגע בין הגלגל לקרקע נמצאת תמיד במנוחה בלי שנוצר ביניהם חיכוך. על העצם פועלים כוחות נורמליים מהמשטח, וכיוון שפני המשטח והעצם אינם אידיאליים יש לכוח הנורמלי שמפעיל המשטח על העצם גם רכיב אופקי שמתנגד לתנועה. באופן טבעי, הכוח הזה קטן בהרבה מכוח חיכוך הקינטי, ולכן קל יותר לגלגל עצם כלשהו מאשר לגרור אותו.

שרטוט של תוספות עץ שנקשרו לאבנים הכבדות כדי לגלגל אותן(מקור: ג'ון בוש, Engineering and Science)

ניסויים שנעשו עם בלוקים מבטון במשקל של 2.5 טון הראו ש-18 בני אדם יכולים לדחוף בשיטה הזו בלוק בשיפוע עולה של 14 מעלות בקצב של 18 מטר לדקה.

ההסבר הזה מניח את דעתם של רוב האגיפטולוגים (חוקרי מצרים העתיקה) כל עוד מדובר באבנים במשקל של 2.5 טון, אבל עבור האבנים הכבדות יותר, ששוקלות 80-50 טון, נדרש הסבר אחר, מכיוון שמתקני העץ הללו לא יעמדו במשקל כה רב. חסרון נוסף של שיטת הגלגול הזו הוא שחיקת הדרכים המובילות אל אתרי הבנייה. חוקרים רבים טוענים שהגלגול היה מפעיל לחצים גבוהים מאוד על משטחי הדרכים שהכשירו המצרים לצורך העברת האבנים והיה שוחק אותם במהירות.

לתקוע מקלות בגלגלים 

באוגוסט 2014 הציע החוקר ג'וזף ווסט רעיון חדש. לדעתו, הבונים קשרו בולי עץ בצדי האבנים הגדולות. שטח החתך של האבן עם בולי העץ יוצר צורה של מצולע משוכלל בעל 12 צלעות, וצורה זו ניתנת לגלגול בקלות רבה יותר מאשר האבן המרובעת לבדה. הוא העריך שבולי העץ צריכים להיות בקוטר של כ-30 ס"מ, בדיוק כמו אלה ששימשו לתרנים בספינות שהשיטו את אבני הבנייה על הנילוס.

ווסט טוען שבאופן הזה הלחץ על הקרקע פוחת באופן משמעותי ואף מבטל את הצורך להשתמש במשטחי גלגול מיוחדים. לצורך הניסוי השתמש ווסט בבלוק בטון כמצולם בתמונה, וקשר אליו בולי עץ כך שפני השטח של הבלוק הפכו מריבוע למצולע של 12 פאות זהות. כדי ליצור את הצורה הזו קוטר בולי העץ צריך להיות שווה להפרש בין המרחק שבין מרכז הבלוק לפינה (D) לבין המרחק שבין מרכז הבלוק למרכז הפאה (b). כדי לגלגל את האבן הצוות יכול למשוך בחבל המלופף מסביב ועובר מעל האבן, ובזמן המשיכה בחבל האבן מתגלגלת בכיוון התנועה.

אבן בניין שאליה קשורים מוטות עץ ( מקור: ג'וזף ווסט, arxiv.org/abs/1408.3603)

בצורה הזו, הכוח שצריך להפעיל כדי לגלגל את האבן מגיע רק ל-0.15 ממשקל האבן כולה. חמישים פועלים יכלו לגלגל כך אבן של 2.5 טון במהירות של 30 מטר בדקה!

בין שהמצרים השתמשו באחת השיטות שהציעו החוקרים ובין שלא, אין ספק שמלאכת הבנייה של הפירמידות היא פלא הנדסי. מדובר בפרויקטים הנדסיים שדרשו שנים ארוכות לביצועם ועבודה של אלפי פועלים. התוצאה היא אחד המבנים העמידים ביותר בעולם!

אנה גריבנין, דוקטורנטית במכון ויצמן וכותבת באתר מכון דוידסון