האיש שהגדיל את האינסוף

דמיינו לעצמכם איש בעל ידע עצום, עם מבט עמוק וחודר, כוח ריכוז אינסופי, ותשוקה אדירה, המסוגל לקחת כל נושא, ולו המורכב ביותר, לפרק אותו לחלקיו הקטנים והיסודיים ולבנות אותו מהתחלה בדיוק כה רב ובאופן מסודר ומאורגן להפליא עד שאין אפילו דבר קטנטן מיותר או שאיננו במקום. המתמטיקאי הגרמני דיויד הילברט (Hilbert) נחשב לאחד מגדולי המתמטיקאים שחיו אי-פעם והוא היה בדיוק איש כזה.

עוד כתבות באתר מכון דוידסון :

הכול על מדע באפליקציה של מכון דוידסון - להורדה באייפון ובאנדרואיד 

הילברט נולד ב-23 בינואר 1862, למשפחה אמידה. אביו אוטו היה שופט, ואמו, מריה תרזה ארדטמן הייתה אישה משכילה, בתו של סוחר מהעיר קניגסברג. היא הוקסמה מאסטרונומיה, פיתחה אובססיה למספרים ראשוניים והייתה בקיאה ומלומדת בפילוסופיה. זה כנראה לא מקרה, אם כך, שבנה דיויד "יחזיר" לימים את יסודות הפילוסופיה לתוך המתמטיקה. למעשה, הוא אולי הראשון שעשה זאת מאז אוקלידס היווני.

סופו של תור הזהב

בשנת 1885 קיבל הילברט תואר דוקטור בפיזיקה ופילוסופיה ופיתח קריירה מתמטית מזהירה כחוקר באוניברסיטה של קניגסברג ואחר-כך באוניברסיטת גטינגן.

דיויד הילברט. 75 שנה למותו

הוא פיתח יחסי חברות ועבודה בין השאר עם המתמטיקאים הגרמנים והאוסטרים המובילים של אותם הימים – פליקס קליין (Klein), גיאורג פיק (Georg Pick), ליאופולד קרוניקר (Kronecker) והרמן מינקובסקי (Minkowski). היו אלה ימי "תור הזהב" של מתמטיקאים ומדענים מגרמניה ואוסטריה, בעיקר בגטינגן. כל אחד מהענקים הללו קידם את המתמטיקה בקצב מסחרר עד שעליית הנאצים שמה קץ ל"מעצמת המתמטיקה". הילברט נגעל כל כך מהחורבן התרבותי והאינטלקטואלי שהמיטו הנאצים על גרמניה מיד עם עלייתם לשלטון, שעל שאלת שר החינוך הגרמני ב-1934 אם המכון למתמטיקה בגטינגן באמת סבל מעזיבת היהודים, השיב בסרקזם: "סבל?! המכון כבר בכלל לא קיים…".

מרחבים אינסופיים

העבודה החשובה ביותר של הילברט היא בתחום הגיאומטריה ועבודתו נחשבת כיסודית ביותר אחרי אוקלידס. הילברט הניח 20 אקסיומות (הנחות יסוד) והראה איך בחירה נבונה מתוכן של קבוצות אקסיומות שונות מאפשרת ליצור כמעט כל מבנה גיאומטרי, מורכב ככל שיהיה.

עבודה זו כנראה הובילה אותו ליצור את מה שמכונה היום מרחבי הילברט (Hilbert Spaces). מרחב הילברט אינו מקום גיאומטרי שאפשר לצפות בו כמו קובייה או כדור, אלא מושג מופשט המשמש כלי מתמטי לחקר סוג מסוים של פונקציות. מרחבי הילברט הניחו את התשתית המתמטית העיקרית לכל תורת הקוונטים שהתפתחה לאחר מכן.

זו לו הייתה תרומתו המתמטית היחידה של הילברט להתפתחות הפיזיקה המודרנית. הוא פיתח במקביל לאלברט איינשטיין את תורת היחסות הכללית, אך איינשטיין הקדים אותו בפרסום תורתו החשובה בחמישה ימים בלבד.

בשנת 1900, בוועידת פריז של הקונגרס הבינלאומי של המתמטיקאים, הציג הילברט עשר בעיות "פתוחות" – בעיות מתמטיות שטרם נפתרו. הוא חשב שאלו הן בעיות יסוד, ושפתרונן יוביל להתפתחויות רבות ערך במתמטיקה. בעיות אלו עוררו הד כה חזק עד שהילברט הוסיף עליהן עוד 13 בעיות. 23 הבעיות של הילברט ראו אור בספר והפכו עד מהרה לשם דבר. עד היום נפתרו עשר מהן ומתמטיקאים רבים בכל העולם שוקדים על דרכים לפתור את 13 הבעיות הנותרות.

הילברט לא רק הבין את המתמטיקה על בוריה וידע לכתוב מאמרים בהירים לקהילה המתמטית, הוא גם נודע כמורה מחונן בעל יכולת להדגים בצורה נהירה מאוד רעיונות מורכבים במתמטיקה. בין השאר הסביר הילברט את רעיון האינסוף לפי מודל של בית מלון המארח אינסוף אורחים.

המצבה של הילברט(צילום: מתוך ויקיפדיה)

חייבים לדעת

Wir müssen wissen.

Wir werden wissen.

"אנחנו חייבים לדעת. אנחנו אכן נדע". זו הייתה תשובתו הפילוסופית ואמונתו האופטימית שלמתמטיקה יש כלים לפתור כל בעיה שתתעורר. המשפט הזה היה תגובה לדברי הרופא הגרמני, אמיל דו-בואה ריימונד (du Bois-Reymond) שטען שיש דברים שלא נדע לעולם, או במילותיו שלו, בלטינית: ignoramus et ignorabimus – אנו לא יודעים ולא נדע.

אירוניה גדולה היא שבאותו כינוס עצמו מתמטיקאי אוסטרי אחר, קורט גדל (Gödel) הנחית על מכה ניצחת על תפיסתו זו של הילברט, כאשר הוכיח שאפילו במתמטיקה יש טענות שאי אפשר להוכיח או להפריך.

ד"ר יוסי אלרן, מכון דוידסון לחינוך מדעי