קיצור תולדות האפס

אפס. לא כלום. שום דבר. נאדה! לכאורה מה כבר אפשר לספר על מספר שכל מהותו היא לא כלום! ובכל זאת, הגילוי שלו היה אחת מנקודות המפנה החשובות במחשבה האנושית.

עוד כתבות באתר מכון דוידסון :

למה אנחנו עצובים בחורף?

אהבת החולדה והרובוט

משוב מוחי להתמודדות עם עקה רגשית

לפני הכול עלינו להכיר בכך שיש לאפס שני תפקידים שונים. תפקיד אחד הוא להיות מונה שמציין "לא כלום", למשל אפס תפוחים. התפקיד השני הוא סִפרה או מסמן מקום במספר. למשל במספר 1023, ספרת האפס מסמנת אפס מאות.

"אין דבר כזה"

בעבר הרחוק מאוד אנשים השתמשו במספרים רק כדי לציין דבר מוחשי. כשמישהו רצה לקנות בשוק שלוש כבשים הוא פשוט היה אומר זאת, או מסמן זאת בשלוש אצבעות. מכאן אפשר אולי להבין מדוע אפס לא נחשב אז מספר – הרי אין לנו אצבע אפס.

מאוחר יותר, כבר לפני אלפי שנים, החליפו מקלות וציורים של מקלות את האצבעות. כשאדם רצה לכתוב למשל את המספר שלוש, הוא חרט באבן שלוש חריטות. כך בדיוק סימנו את המספרים שבין 1 ל-9 בכתב החרטומים המצרי, בכתב הבבלי הקדום ובשפות עתיקות נוספות. באפס, כמספר, לא היה להם צורך. יתרה מזאת, ייתכן שבכלל לא היה לו משמעות מבחינתם. הרי גם כיום, כשאנחנו הולכים לשוק לקנות ירקות אנחנו לא קונים אפס עגבניות או אפס מלפפונים. וכשנגמר לנו הכסף אנחנו פשוט אומרים שאין לנו עם מה לשלם.

ראשיתו של אפס כמספר שמציין "שום דבר" היא כנראה בהודו העתיקה במאה השביעית לספירה, אם לא קודם. היא מופיעה בוודאות בכתביו של המתמטיקאי ההודי ברהמגופטה (Brahmagupta). ברהמגופטה כתב אריתמטיקה שבה מופיע האפס כמספר, ולמשל קבע שמספר חיובי ועוד אפס שווה לאותו מספר חיובי. אותו דבר נכון כמובן גם למספרים שליליים.

צורות רבות של ספרות. השוואה בין צורת הספרות במערכות נומריות שונות (צילום: מתוך ויקיפדיה)

אפס מקום

הראשונים שעליהם אנו יודעים שהמציאו שיטה מבוססת מיקום לכתיבת מספרים היו הבבלים. בניגוד לימינו, השיטה הזאת לא הייתה מבוססת על עשר ספרות, אלא על שישים. מכיוון שלבבלים לא היה סימן לספרה אפס, הם הבדילו בין מספרים כמו 204 ל-24 רק לפי ההקשר. אם זה נראה לכם מצחיק, שימו לב שגם היום אנחנו עדיין עושים לפעמים דבר דומה בשפת הדיבור. למשל, כששואלים נהג אוטובוס כמה עולה כרטיס נסיעה בתוך העיר והוא עונה "חמש תשעים", אנחנו מבינים לבד שהוא מתכוון לחמישה שקלים ותשעים אגורות ולא חושבים שהוא מתכוון למחיר המופקע של חמש מאות ותשעים שקלים.

החל מהמאה הרביעית לפני הספירה החלו הבבלים לסמן את העובדה שאין אלפים, מאות או עשרות בעזרת שניים או שלושה חיצים קטנים (מעין יתדות). אולם הם לא התייחסו לסימן החדש הזה כאל סִפרה, ולבטח לא מספר העומד בפני עצמו – זה היה פשוט סימן מוסכם שאמר "אין כאן אלפים" (או מאות, או עשרות) שיטות דומות התפתחו עם השנים גם אצל המאיה בדרום אמריקה ובסין במזרח הרחוק.

כשהמצביא היווני אלכסנדר מוקדון כבש את בבל בשנת 331 לפני הספירה הוא אימץ את השיטה הבבלית מבוססת המיקום והשתמש בסימן של עיגול להראות היעדר סִפרה באחד מהמקומות במספר. את השיטה הזאת אימצו המדענים היוונים, ובמיוחד האסטרונומים – למשל תלמי. גם הם, בדומה לבבלים, התייחסו לסימן הזה כמילה של "היעדר" ולא כסימן למספר אפס.

השיטה ההודית-ערבית

מה קרה מאז ועד שההודים איחדו את המספר אפס ואת הספרה אפס למושג אחד? איננו יודעים. ייתכן שההודים גילו זאת בעצמם, ואולי מפגש התרבויות, תחילה היוונית-נוצרית, ואחריהן הנוצרית-הודית, הביאו למעבר הידע. מה שברור הוא שהממצא הארכיאולוגי הראשון שבו מופיעה הסִפרה אפס הוא לוח שעליו משנת 876 לספירה מאזור גווליאור בהודו. שם המספרים כבר כתובים בשיטה עשרונית מבוססת מיקום - ומופיעה הסִפרה אפס, לפי המבנה העשרוני המוכר לנו כיום.

מהודו עברה השיטה העשרונית לארצות ערב השכנות, שנודעו בחכמתן. מרכז פורה במיוחד היה מבנה גדול, מעין אוניברסיטה, בשם בית החוכמה שהוקם בבגדד. אחד המתמטיקאים הבולטים שפעל שם ופיתח מאוד את המתמטיקה, במיוחד את האלגברה, היה אבו-ג'עפר מוחמד אבן-מוסא אל-ח'ואריזמי, שמשמו נגזרה בהמשך המילה "אלגוריתם". הערבים ציירו מחדש את עשר הספרות ההודיות, שנשמרו בצורתן זו עד היום, כולל האפס שסומן בנקודה קטנה ונקרא "סיפְר". ההודים כינו את המספר הזה "סוּניָה", מילה שמשמעותה "פנוי" או "חלק". כיום השיטה העשרונית מכונה גם השיטה ההודית-ערבית.

העביר לעולם הערבי את השיטה ההודית. פסל של אל-ח'ואריזמי באוניברסיטה הטכנולוגיה בטהרן(צילום: מתוך ויקיפדיה)

האפס כובש את העולם

בשעה שההודים והערבים התקדמו מאוד במחקרים המתמטיים שלהם, בין השאר בזכות השיטה העשרונית והמצאת האפס, המתמטיקאים האירופים נותרו האירופאים מאחור והמשיכו להשתמש בשיטת הספירה הרומית הקדומה. בשיטה הזאת הסימנים: I, V, X, L, C, D ו-M סימלו את המספרים 1, 5, 10, 50, 100 ,500 ו-1,000 בהתאמה. לדוגמה, המספר 126 נכתב בה כך: CXXVI. השיטה הרומית הייתה בשימוש בכל אירופה בימי הביניים, וכאמור לא היה בה שום סימן לאפס, לא כמספר ולא כמציין מקום.

את הבאתה של שיטת הספירה ההודית-ערבית לאירופה אנו חבים לפילוסוף, המדען והרב היהודי אברהם אבן עזרא. הוא נולד בשנת 1089 בעיר טודלה שבספרד ועד מהרה התגלתה יכולתו הגבוהה בתחומי הפילוסופיה, המתמטיקה, המדעים ופרשנות המקרא. הוא נמלט מספרד מאימת המואחדים – שליטים מוסלמים קיצונים, ויצא לנדודים ברחבי אירופה, מצרים וארץ ישראל. במסעותיו הוא נתקל בשיטת הספירה ההודית-ערבית, אימץ אותה בשמחה ואף כתב עליה בשני ספרי מתמטיקה: "ספר האחד" ו"ספר המספר". בספריו הוא סימן את האפס בעיגול קטן וכינה אותו "גלגל" בעברית.

הספרה אפס(צילום: shutterstock)

שש שנים לאחר מותו של אבן עזרא בשנת 1164 נולד בפיזה שבאיטליה אחד המתמטיקאים הגדולים של ימי הביניים – לאונרדו פיבונאצ'י. על פיבונאצ'י נכתבו ספרים רבים ואין כמעט תחום במתמטיקה שהוא לא נגע בו, אך כיום הוא מפורסם בראש ובראשונה בזכות סדרת המספרים הפלאית הקרויה על שמו, שבה כל מספר בסדרה שווה לסכום שני המספרים הקודמים לו.

גם פיבונאצ'י נדד בצעירותו ברחבי צפון אפריקה ואירופה, אך לא מפחד המואחדים אלא להיפך – על מנת לעזור לאביו בונאצ'י לסחור איתם. כמו אבן עזרא הוא התוודע לשיטת הספירה ההודית-ערבית ולמד את רזי שיטות החישוב העשרונית מהמתמטיקאים הערבים המובילים של ימיו. ספרו "ליבר אבאצ'י" (Liber abaci, "ספר החשבונייה"), שבו תיאר את שיטת החישוב החדשה, התפרסם בכל אירופה וזיכה אותו בתהילה רבה, כך שהוא נחשב אבי השיטה העשרונית באירופה, ולא אבן עזרא שקדם לו, אך כתב בעברית.

למרות זאת, מלומדי אירופה לא מיהרו להתרגל לשיטה העשרונית ולסִפרה אפס והמשיכו להשתמש בשיטות המיושנות עוד זמן רב, עד המאות ה-16 וה-17. 

אפס זאת גם מילה

ולמה "אפס"? הרי המילה הערבית שהומצאה לאפס היה "סיפְר", וזה גם המקור למילה "סִפרה" בעברית. אותה מילה התגלגלה בשינויים קלים גם לשפות אירופה – למשל Zero באנגלית. אז מאיפה האפס שלנו?

המילה אפס מופיעה כבר בתנ"ך, למשל כשהמרגלים חוזרים ממשימתם לתור את הארץ הם טוענים, "אפס כי עז העם היושב בארץ..." (במדבר י"ג, כ"ח). כלומר המילה אכן מופיעה בתנ"ך אך בדרך כלל במשמעות של "אך" או "רק". עם זאת, יש בספר הספרים מקומות שבהם האפס כן משמש לציון היעדר או חוסר. למשל כשיוסף ממונה לאחראי על אוצרות פרעה, והרעב במצרים כבד, מבקשים ממנו המצרים שייתן להם לחם מפני שנגמר להם הכסף: "ולמה נמות נגדך כי אפס כסף" (בראשית מ"ז, ט"ו). והנביא ישעיהו אמר "יהיו כאין וכאפס אנשי מלחמתך" (ישעיהו מ"א, י"ב).

האפס אכן היה תגלית מדהימה, וזכה בצדק לתהילת עולם, שכן הוא הספרה היחידה מעשר הספרות שיש לו היסטוריה משלו. מי יודע, אולי כשמישהו קורא לכם "אפס" הוא מתכוון בכלל להחמיא לכם?

ד"ר יוסי אלרן, מנהל היחידה לחדשנות בחינוך המדעי במכון דוידסון