חוקרים בטכניון פיתחו "מחולל השְׁערות"' המייצר השערות מתמטיות, והפיקו באמצעותו כמה השערות שחלקן לא היו ידועות עד כה. המחקר התפרסם אמש (יום ד') בכתב העת Nature. את המחקר ערכו סטודנטים לתואר ראשון מפקולטות שונות, בהנחיית ד"ר עדו קמינר מהפקולטה להנדסת חשמל ע"ש ויטרבי.
בטכניון אמרו כי המחקר עוסק באחד מהרעיונות היסודיים ביותר במתמטיקה – קבועים מתמטיים. קבוע מתמטי הוא מספר שמופיע באופן טבעי בפיתוחים מתמטיים וערכו אינו משתנה. לקבועים מתמטיים רבים יש ערך עצום במתמטיקה אבל גם בתחומים חיצוניים למתמטיקה ובהם ביולוגיה, פיזיקה, ואקולוגיה.
לדוגמה, הביאו בטכניון את יחס הזהב וקבוע אוילר, שהם דוגמאות לקבועים יסודיים כאלה. פאי, קבוע מפורסם במיוחד, נחקר עוד בימי קדם בהקשר של היקף המעגל, וכיום הוא מופיע בחישובים רבים בכל תחומי המדע, וחובבי מתמטיקה רבים מתחרים ביניהם מי יזכור יותר ספרות אחרי הנקודה:
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303820
במחקר הנוכחי שנערך בטכניון הוצע ונבחן רעיון חדש: להשתמש באלגוריתמי מחשב כדי לחולל באופן אוטומטי השערות מתמטיות המספקות נוסחאות חדשות על קבועים מתמטיים.
השערה היא משפט מתמטי שלא הוכח; ברגע שהוא מוכח, מעמדו משתנה מהשערה לתאורמה ( פסוק שניתן להוכיח אותו במסגרת מערכת אקסיומות מסוימת). גילויה של השערה מתמטית על קבועים יסודיים הוא אירוע נדיר יחסית, שמקורו בגאונות מתמטית ובאינטואיציה אנושית יוצאת דופן. ניוטון, רימן, גולדבך, גאוס, אוילר ורמנוג'אן הם דוגמאות לגאונות כזאת, והאלגוריתם החדש נקרא על שמו של האחרון – סריניוואסה רמנג'ואן.
רמנג'ואן, שנולד ב-1887 בהודו, היה נער עני שהגיע לקיימברידג' בגיל 26 ביוזמתם של המתמטיקאים הבריטים גודפרי הארדי וג'ון ליטלווד. תוך שנים ספורות הוא חלה, חזר להודו ומת בה בגיל 32. למרות גילו הצעיר הוא רשם בתקופה קצרה זו הישגים עצומים בעולם המתמטיקה. אחת מיכולותיו הנדירות של רמנג'ואן (לכתבה עליו אודותיו, שכתב אילן קוסטה ממכון דוידסון) הייתה בניסוח נוסחאות מתמטיות באופן אינטואיטיבי וללא הוכחה. לכן החליטו חוקרי הטכניון לקרוא לאלגוריתם שלהם "מכונת רמנג'ואן", שכן הוא מייצר השערות בלי להוכיחן, וזאת במעין חיקוי של אינטואיציה המבוסס על בינה מלאכותית וכוח מיחשוב גדול.
ד"ר קמינר אמר: "התוצאות שלנו מרשימות כי למחשב לא אכפת אם ההוכחה קלה או קשה, והוא אינו משתית את התוצאות החדשות על שום ידע מוקדם במתמטיקה – רק על הספרות של קבועים מתמטיים. האלגוריתמים שלנו עובדים במידה רבה כמו רמנג'ואן עצמו, שהציג תוצאות ללא הוכחות. חשוב להדגיש כי האלגוריתם עצמו אינו מסוגל להוכיח את נכונותן של ההשערות – המשימה הזאת נותרת בשלב זה מלאכתם של מתמטיקאים בני אדם".
2 צפייה בגלריה
. מימין לשמאל : שחר גוטליב, ד"ר עדו קמינר, יואב האריס ורותם אלימלך
(צילום: רמי שלוש, דוברות הטכניון)
ההשערות שמחוללת מכונת רמנג'ואן הטכניונית סיפקו נוסחאות חדשות לקבועים מתמטיים מפורסמים כמו פאי, קבוע אוילר (e), קבוע אפרי (הקשור לפונקצית זטא של רימן) וקבוע קטלן. למרבה ההפתעה, אומרים בטכניון, האלגוריתמים שפיתחו החוקרים הצליחו לייצר לא רק נוסחאות ידועות לקבועים המפורסמים, אלא גם כמה השערות שלא היו ידועות עד כה. להערכת החוקרים, אלגוריתם זה יוכל להאיץ משמעותית את יצירתן של השערות מתמטיות על קבועים יסודיים ולעזור במציאת קשרים חדשים בין קבועים כאלו.
המחקר החל כפרויקט לסטודנטים בתואר ראשון בתוכנית רוטשילד-טכניון למצוינים, בהשתתפות של גל רעיוני וג'ורג' פישה, והמשיך במסגרת פרויקטי מחקר בפקולטה להנדסת חשמל ע"ש ויטרבי בהשתתפות שחר גוטליב, יואב האריס ודורון חביב. שם גם התרחשה פריצת הדרך המשמעותית - אלגוריתם שפיתח שחר גוטליב.
ד"ר קמינר אמר שהתגלית המתמטית הכי מעניינת שהתגלתה עד כה על ידי האלגוריתמים של מכונת רמנוג'אן קשורה למבנה אלגברי חדש שמתחבא בתוך קבוע קטלן. מבנה זה התגלה על ידי יהל מנור, תלמידת כיתה י"ב שהשתתפה בפרויקט במסגרת תוכנית אלפא לתלמידים מצטיינים בטכניון. לדבריו, "במחקר השתתפו גם חברים מהתעשייה - אורי מנדלוביץ' וירון חדד, שתרמו רבות לקונספטים המתמטיים והאלגוריתמיים שבבסיס מכונת רמנוג'אן. חשוב לציין שהפרויקט כולו נערך בהתנדבות, לא מומן על ידי שום גורם, והמשתתפים הצטרפו אליו מתוך סקרנות מדעית טהורה".
ד"ר עדו קמינר הוא ראש המעבדה לדינמיקה קוונטית של אלומות אלקטרונים ע"ש רוברט ורות מגיד, חבר סגל בפקולטה להנדסת חשמל ע"ש ויטרבי ובמכון למצב מוצק וחבר במכון לננוטכנולוגיה ע"ש ראסל ברי (RBNI) ובמרכז הקוונטום ע"ש הלן דילר.
תוכנית אלפא (תוכנית למחקר בתחומים מדעיים), המופעלת במוסדות האקדמיים ברחבי הארץ, היא מיזם משותף של מרכז מדעני העתיד של קרן מיימונידיס ומשרד החינוך.
