לשאלה "מה היא מתמטיקה?" יש תשובות רבות, שלעיתים קרובות מטביעות אותנו בויכוח הנצחי אם מדובר בהמצאה או בגילוי. תשובה מרתקת אחת מצליחה להימנע באלגנטיות מרשימה מהמלכודת הזאת. על פי גרסה זו, המתמטיקה היא המאמץ האנושי למצוא סדירויות בכל. יש שיאמרו מאמץ טראגי, סיזיפי וחסר תקווה, ובו בזמן פואטי נשגב ומלא תקווה. כך או כך, גם אם לא מקבלים תשובה זו כמהות המתמטיקה כולה, המרדף אחר סדירויות, תבניות וחוקיות הוא ללא ספק אחד המאפיינים המרכזיים שלה.
לכן במובן מסוים הענף המתמטיקה הקרוי "תורת רמזי", מצליח ללכוד את כל המורכבות והפואטיקה של המרדף הזה. פרנק רמזי (Ramsey), מתמטיקאי בריטי, חי חיים קצרים מאוד בתחילת המאה העשרים ומת ממחלה בגיל 26 בלבד, כשהוא מספיק להותיר אחריו מורשת מתמטית עשירה, כולל ההוכחה שפתחה תחום חדש שלם במתמטיקה, הקרוי מאז על שמו.
5 צפייה בגלריה
הותיר חותם עמוק למרות מותו בגיל צעיר מאוד. פרנק רמזי
(צילום: Cambridge Wittgenstein archive, Fair Use)
תורת רמזי עוסקת בסדר הנוצר מתוך הכאוס. היא לוקחת מבנים שלכאורה אין בהם שום חוקיות, שום סדירות, והם בנויים באקראיות מוחלטת, ושואלת אילו סדירויות בכל זאת אין ברירה אלא למצוא בהן. השאלה הטיפוסית בה עוסקת תורת רמזי היא "כמה גדול צריך להיות מבנה מסוים כדי לקיים תכונה מסוימת?" הדוגמה היסודית, שממנה צמחה התורה כולה, מדגימה זאת היטב.
עוד כתבות באתר מכון דוידסון לחינוך מדעי:
ניחוחן המרגיע של הדמעות
הצלופח ששינה אותי
חצבת, כלבת, צהבת: מחלות ללא גבולות
מסיבה שהכל יכול לקרות בה
נניח שיש לנו מסיבה שהגיעו אליה שישה אורחים. הזמנו בני משפחה, עמיתים מהעבודה ואפילו כמה שכנים, כך שלגבי כל זוג אורחים יש שתי אפשרויות: או שהם מכירים זה את זה, או שהם זרים. אבל כמה זוגות מכרים וכמה זוגות זרים? הכל יכול לקרות. יכול להיות שבמקרה הגיעו שישה אנשים שכולם מכירים זה את זה מהעבודה, ויכול להיות שכל ששת האורחים לא נפגשו מעולם עד כה. כאן נכנסת תורת רמזי, ושואלת אם במצב עניינים זה, שעל פניו אין לו חוקיות כלשהי, חייבת בכל זאת להיות סדירות מסוימת.
הנה דוגמה. נסמן שישה עיגולים המייצגים את האורחים, ונחבר כמה מהם בקווים של היכרויות:
5 צפייה בגלריה
ששת האורחים במסיבה וקשרי ההיכרות ביניהם
(איור: מיכאל גורודין, מכון דוידסון לחינוך מדעי)
המשפט הראשון בתורת רמזי, שהוכיח פרנק רמזי עצמו, מראה כי גם במצב כזה של שישה אורחים בתפזורת כלשהי, חייבת להופיע סדירות: במסיבה כזו יהיה תמיד "משולש": שלושה אורחים שכולם מכרים, או שלושה אורחים שכולם זרים. מובן כי המשפט עצמו היה כללי קצת יותר ומורכב קצת יותר, אבל זו תמצית העניין. האם יש "משולש" כזה בדוגמה שלנו? בוודאי. הנה:
5 צפייה בגלריה
לשלושת האורחים המסומנים באדום יש משהו משותף: הם אינם מכירים זה את זה
(איור: מיכאל גורודין, מכון דוידסון לחינוך מדעי)
האורחים המסומנים יוצרים "משולש" של אי-היכרות. שלושתם זרים אלו לאלו. משפט רמזי מבטיח לנו שלא משנה אילו אורחים נזמין, ולא משנה איך מפוזרת מפת ההיכרויות ביניהם, תמיד יהיה לנו "משולש" של היכרות או של אי-היכרות. איך מראים שחייב להיות "משולש" כזה במסיבה של שישה אורחים שיכולים להיות בכל שילוב של היכרויות הדדיות? שגם אם נוסיף או נוריד קווי היכרות עדיין תמיד יהיה "משולש" כלשהו? ההוכחה במקרה הזה אפילו לא מסובכת במיוחד:
ניקח אורח אחד מהשישה, לא משנה מי, ונבדוק את מי הוא מכיר מבין החמישה האחרים. מכיוון שיש לנו רק שתי אפשרויות, מכיר או לא מכיר, לגבי כל אחד מהם, ויש חמישה אורחים כאלה, יש לפחות שלושה באותו הסטטוס: או שלושה שהוא מכיר, או שלושה שהוא לא מכיר. אחרת, אם הוא מכיר שניים בלבד ולא מכיר שניים בלבד, אנחנו לא מגיעים לחמישה. כעת נתעלם מכל שאר האורחים במסיבה, ונתמקד ברביעיה שלנו: האורח שהתחלנו ממנו, והשלושה האחרים, שכולם באותו סטטוס היכרות איתו. יש לנו שתי אפשרויות: או שהוא מכיר את שלושתם, או שהוא לא מכיר איש מהם. נניח שהוא מכיר את שלושתם.
5 צפייה בגלריה
נניח שהאורח שבחרנו מכיר של שלושת האורחים שבאותו סטטוס
(איור: מיכאל גורודין, מכון דוידסון לחינוך מדעי)
כעת, נבדוק מה מצב ההיכרויות ההדדיות בין השלושה הללו. אם יש שניים מהם שמכירים הדדית, הם "סוגרים משולש" של היכרות עם האורח שלנו. ואם שלושתם לא מכירים הדדית – הם יוצרים בעצמם משולש, אלו שלושה אורחים שלא מכירים זה את זה כלל:
5 צפייה בגלריה
בכל מצב, יש שלושה אנשים בעלי מכנה משותף
(איור: מיכאל גורודין, מכון דוידסון לחינוך מדעי)
ומה קורה אם האורח שבחרנו דווקא לא מכיר שלושה אחרים? ההוכחה היא זהה לחלוטין, רק שצריך להפוך את כל האפשרויות. אם כל השלושה האחרים מכירים הדדית הם יוצרים משולש ביניהם, ואם אפילו שניים מהם לא - הם יוצרים משולש אי-היכרות עם האורח שבחרנו.
זו בעיית רמזי (3,3). מדוע היא נקראת כך? כי אנחנו שואלים מה הוא מספר האורחים המזערי עבורו אנחנו יכולים להיות בטוחים שנקבל שלושה מכרים הדדיים או שלושה זרים הדדיים. מכאן, כמו תמיד במתמטיקה, אנחנו מתחילים להכליל. מה אם אנחנו רוצים שלושה מכרים או ארבעה זרים, כלומר את רמזי (3,4)? חמישה זרים? עוד? התברר שהבעיה הזאת קשה הרבה יותר ממה שנדמה במבט ראשון.
כל אחד מהמקרים הללו ניתן לחישוב לא מסובך מדי בפני עצמו. למשל, אם אנחנו מעוניינים במסיבה (3,4), כלומר כזאת שיש בה בוודאות 3 מכרים הדדיים או 4 זרים הדדיים מתברר שנצטרך 9 אורחים כדי להבטיח זאת. המספרים הללו נודעו כ"מספרי רמזי". מספר רמזי (3,5) הוא דווקא 14. אפילו חישובים אלו התבררו כקשים ומורכבים ביותר, והם דרשו בדיקה של כל מקרה לגופו, וכמובן שבמספרים גדלים והולכים, החישוב מסתבך והולך. שורש הקושי נעוץ בדיוק במה שתיארנו: תורת רמזי מתחילה במצבים שבהם אנחנו לא יודעים כמעט כלום. אבל זה בדיוק מה שהפך את החיפוש אחר הפתרון לבעיית רמזי למושך כל כך.
קוריוז שימושי
מה שהפך את זה מקוריוז מתמטי לצורך אמיתי הוא שכמו שקורה לעיתים קרובות, מתברר שתוצאות במתמטיקה עשויות להיות שימושיות במגוון מצבים מפתיעים. כך קרה גם לתורת רמזי, שמצאה את עצמה בתפקיד המפתח בבעיות אחרות במגוון רחב ומפתיע של תחומים מתמטיים. היכולת לקחת מצב שלא ידוע עליו כמעט כלום, ולהיות מסוגלים בכל זאת להגיד בוודאות שחייב להתקיים מבנה מסוים, או סדירות מסוימת – התגלתה כשימושית ביותר בתחומים מתמטיים רבים. כך למשל אם אפשר היה להראות שבמובן מסוים מצב עניינים כלשהו דומה למסיבה שלנו, שלכאורה אנחנו לא יודעים עליה כלום כי אנחנו לא יודעים מי המוזמנים – תורת רמזי מאפשרת להתחיל ולומר משהו כמו "נבחר שלושה אנשים שביניהם יש מצב זהה של היכרות הדדית, כלומר שלושתם מכירים זה את זה או זרים זה לזה". עכשיו כשיש לנו משהו ביד שיש לו מבנה וסדירות, אפשר להתחיל לעבוד. חקירות מתמטיות רבות יותר ויותר יכלו להשתמש בכלי זה, ולכן המוטיבציה לפתור את בעיית רמזי באופן רחב יותר הלכה וגברה.
פתרון כללי למספרי רמזי מהצורה (2,t) נמצא מאוד מהר. אבל רק בשנת 2019 נפתרה בצורה כללית וסופית שאלת מספרי רמזי מהצורה (3,t). כלומר בניסוח שהשתמשנו בו עד עתה, כמה אורחים צריכים להיות במסיבה כדי להבטיח שיש ביניהם שלושה מכרים הדדיים או t אנשים שכולם זרים זה לזה. לרגע נדמה היה שהשיטה המיוחדת שפותחה כדי לפתור את האתגר הזה תוכל לשמש גם כדי למצוא פתרונות נוספים ולהתקדם עוד בתורת רמזי, אך היא נגוזה עד מהרה. משהו בתורה הזאת, שמתעקשת למצוא את החוקיות בכאוס, הפך אותה לחמקמקה במיוחד. כמה חמקמקה? עדיין אין בידינו פתרון כללי למספרי ראמזי (4,t)
אנחנו יודעים לחשב את (4,4), והחל משנת 1995 גם את (4,5) - אבל זה הכל. אבל עכשיו יש בידינו הוכחה לקירוב מאוד מאוד מוצלח. כלומר אנחנו לא יודעים מה הוא מספר ראמזי (4,6) אבל אנחנו יודעים שהוא חייב להיות בין 49 ל 58. גם לשאר המספרים מהצורה הזאת יש לנו יכולת לתחום את אזור המחיה האפשרי שלהם בדיוק שמתברר כמועיל ושימושי.
לעיתים, המסע הבלתי נגמר של בני האדם בחיפושינו אחר הסדר בכאוס נראה כך. לא גילויים אדירים משני מציאות, אלא צעדים קטנים, לא ודאיים, אבל כאלה שמקדמים אותנו עקב בצד אגודל לעבר עוד ידע ועוד אמת. עוד צעד קטן במעלה ההר האינסופי הזה.
מיכאל גורודין, מכון דוידסון לחינוך מדעי, הזרוע החינוכית של מכון ויצמן למדע
