בניגוד למה שתלמידים רבים חושבים, לא כל המתמטיקה מקורה בשטן. עם זאת, גדולי המתמטיקאים לאורך הדורות חקרו ענפים במתמטיקה שקשה ליישב עם ההיגיון השגרתי, כאלה ש"אינם מתקבלים על הדעת". מפתה מאוד, אם כך, לייחס להם מעורבות של גורמים על-טבעיים, ואיזה גורם על-טבעי עדיף על אשמדאי, סַמָאֵל, הילל בן שחר, אדון הסטרא אחרא, לוציפר ומלך השדים?
מתמטיקאים מקבלים לעיתים הצצות חטופות אל תחומים ועולמות שבני תמותה אחרים מתקשים להבין לאשורם, כמו מספרים אי-רציונליים, גיאומטריה לא-אוקלידית, מרחבים n-ממדיים או סוגים שונים של אינסוף. לא נדרשת קפיצה לוגית גדולה מדי כדי לחשוש מרעיונות כאלה, ואפילו לראותם כ"שטניים". לכן לא מפתיע שבדברי ימי המתמטיקה יש כמה וכמה אזכורים לאדון האופל.
נוצרים, היזהרו!
אוגוסטינוס הקדוש, למשל, כותב אי-אז במאה החמישית ש"על הנוצרי הטוב להישמר מפני מתמטיקאים ומפני אלה שמשמיעים נבואות ריקות מתוכן. קיימת סכנה שמתמטיקאים כבר כרתו ברית עם השטן כדי להאפיל על הרוח ולכלוא את האדם בכבלי הגיהינום" (מתוך De Genesi ad Litteram, חיבור פרשנות לספר בראשית).
עוד כתבות באתר מכון דוידסון לחינוך מדעי:
אבעבועות הקוף: שוב מצב חירום עולמי
מחלות ללא גבולות - אבעבועות הקוף ופוליו
איך פועלים בדים מנדפי זיעה?
האזהרה הזאת לא באמת מתייחסת למתמטיקאים כפי שאנחנו מכירים אותם היום. במאה החמישית למושג "מתמטיקאים" הייתה משמעות אחרת לגמרי, ו"מתמטיקה" כתחום דעת של ממש התפתחה רק מאות שנים מאוחר יותר. כשאוגוסטינוס כותב על "מתמטיקאים", הוא מתכוון לאסטרולוגים ולנומרולוגים; כיוון ששני התחומים קשורים למספרים (נומרולוגיה) ולחישובי מפות כוכבים (אסטרולוגיה), באותה תקופה נהגו להתייחס אליהם כאל "מתמטיקה". על פי חשדותיו של אוגוסטינוס, אותם "מתמטיקאים" לכאורה מכרו את נשמותיהם לשטן כדי שיוכלו לחזות את העתיד באמצעות מתמטיקה.
יש לציין שאוגוסטינוס לא היה מתמטיקאי, ולכן יכולתו להיחשף אל הנשגב שבמתמטיקה, ולקבל דרכה מסרים אמיתיים מעולמות אחרים, מוטלת בספק. מצד שני, הוא כן היה תיאולוג גדול ואחד מאבות הכנסייה, אז אולי בגיהינום הוא דווקא הבין. ישפטו הקוראים בעצמם אם בבסיס האזהרה של אוגוסטינוס עמדה דאגה לכיסיהם של קוראיו, או שהוא האמין באמת ובתמים שאותם נומרולוגים ואסטרולוגים אכן חוזים את העתיד בזכות ברית שכרתו עם השטן.
אזהרתו של אוגוסטינוס, כאמור, מגיעה מפי לא-מתמטיקאי ועוסקת בלא-מתמטיקאים. אולם ציטוטים עסיסיים יותר, שמקורם ועניינם במתמטיקאים אמיתיים, מציגים אמת מטרידה לא פחות.
סדרות הרות אסון
המתמטיקאי הנורבגי נילס הנריק אבל (Abel) כתב במכתב מ-1826 ש"סדרות מתבדרות הן קטלניות (fatal), וכל הוכחה שמבוססת עליהן היא ביזיון". לעיתים מתרגמים את הציטוט הזה, שנכתב בצרפתית במקורו, בתור "סדרות מתבדרות הן המצאה של השטן".
5 צפייה בגלריה
הזהיר את הנוצרים המאמינים להישמר מפני מתמטיקאים. אוגוסטינוס הקדוש בתמונה מן המאה ה-17 מאת פיליפ דה שמפיין
(איור: ויקיפדיה, נחלת הכלל)
אבל ללא ספק הכיר את השטן. הוא הציץ אל נפתולי האלגברה, ואז מת בגיל 27 משחפת, כשהוא מצטרף מוקדם במיוחד ל"מועדון 27" - כינוי רווח לשורה ארוכה של מוזיקאים, שחקנים ואמנים שמצאו כולם את מותם בגיל הזה. אני מוצא שקשה להכחיש את מעורבותו הברורה של השטן בחייו. מצד שני, מדובר ללא ספק במתמטיקאי דגול, ולראיה, עד היום אחד הפרסים החשובים בעולם המתמטי נקרא על שמו.
אותן סדרות מתבדרות, שבגינן כתב אבל את הציטוט הנ"ל, הן סדרות של מספרים שמוצאות את עצמן בין שני קטבים. השטן צץ כשמנסים לסכום אותן. מהתבוננות שטחית אפשר אולי לחשוב שהבעיה היא, כמו לעיתים קרובות במתמטיקה, באינסופיות, אלא שזה לא בדיוק המקרה כאן. יש סדרות אינסופיות שאפשר להסתדר עם הסכומים שלהן. אנחנו יודעים שהסדרה
1+1/2+1/4+1/8+…
מסתכמת, למרות אינסופיותה, בערך ב-2. ואנחנו יודעים גם שהסדרה
1+1+1+…
מתקרבת אל האינסוף ככל שמתקדמים. עד כאן אין בעיה ואין שטן. אך אבל הצעיר התבונן בסדרה הבאה:
1-1+1-1+1…
מה יהיה הסכום שלה? ובכן, אפשר לברר בשתי דרכים שונות. מצד אחד
1-1+1-1+1… = (1-1)+(1-1)+…=0+0+…=0
אבל מצד שני אפשר גם
1-1+1-1+1… = 1+(-1+1)+(-1+1)…=1+0+0+0+…=1
אז... התחלנו מאותו סכום, ניסינו לחשב אותו בדרך אחת וקיבלנו אפס, וכשניסינו לחשב אותו בדרך אחרת קיבלנו אחת. ויש עוד דרכי חישוב שמניבות עוד תוצאות. זאת בעיה רצינית מאוד, בעיה שמקורה עלול להיות מעורבותו הבלתי ניתנת להכחשה של אשמדאי ברזי המתמטיקה. כאן חשוב להבהיר שמעורבותו של השטן לא הופכת את המתמטיקה שהוא קשור אליה לשגויה, רק ל... ובכן, שטנית.
רק מאות שנים לאחר מותו בטרם עת של אבל פותחו כלים מתמטיים כדי להתמודד עם מצבים כאלה. האם הוא זכה להציץ בעולם מתמטי רב הוד ונשגב מבינתנו, בני האדם הרגילים? גם על השאלה הזו יצטרכו הקוראים להשיב בעצמם.
5 צפייה בגלריה
כתב כי סדרות מתבדרות הן המצאה של השטן. דיוקנו של נילס הנריק אבל
(איור: ויקיפדיה, נחלת הכלל)
מלאכים ושדים
הרמן וייל (Weyl), מתמטיקאי ופילוסוף גרמני, כתב בשנת 1939 ש"בימים אלה מלאך הטופולוגיה ושטן האלגברה המופשטת נאבקים על נשמתו של כל תחום מתמטי". גם הוא, אם כן, לא חשב שהשטניות מפחיתה מערכה של המתמטיקה. בתרחיש שמתאר הציטוט הזה, מלאך הטופולוגיה ושטן האלגברה מנהלים קרב על נשמתו של המתמטיקאי. חלק אחד של המתמטיקה הוא נשגב, שמימי ויפהפה, וחלק אחר הוא... יפהפה גם הוא, אבל בצורה מפלצתית, מקורננת ומבעיתה. אך מדוע ענף אחד של המתמטיקה מלוהק לתפקיד הגיבור ואחר לתפקיד הנבל? האם זו גחמה?
מתברר שהדימוי הזה, האלגברה כמכשירו של השטן, לא היה פרי רוחו של וייל בלבד. המתמטיקאי מייקל עטיה (Atiyah) כתב ב-2004 ש"אלגברה היא הצעה שמציע השטן למתמטיקאי. השטן אומר: 'אתן לך את המכונה רבת העוצמה הזו, שתענה על כל שאלה כרצונך. כל שעליך לעשות הוא להעניק לי את נשמתך: ותר על גיאומטריה והמכונה הפלאית הזו תהיה ברשותך'".
ושוב האלגברה ממוסגרת בתור השטן, אל מול נשמה אלוהית ונשגבת, שהיא במקרה הזה גיאומטרית. למה? אני לא חושב שזה עניין של אסתטיקה או של יופי. כלומר ודאי שיש כאן טעמים שונים והעדפות נבדלות, ויש מתמטיקאים שבעיניהם ענפים מתמטיים מסוימים יפים הרבה יותר מאחרים. אבל לא נראה לי שזה לב המחלוקת סביב האלגברה. אני חושב שיש כאן התנגשות בין שני ערכים חשובים בהוכחות מתמטיות: הראשון, והכמעט מובן מאליו, הוא יעילות. בכך האלגברה נוטה להצטיין, והיא יוצרת הוכחות ביעילות מופלאה. על כן זה הפיתוי שהשטן מציע. הערך השני הוא משמעות. הגיאומטריה חזקה יותר במתן משמעות לדברים, כשהיא מקנה לנו יכולת לדמיין את האובייקטים המתמטיים כעצמים במרחב, למשל. אני מניח שעטיה ראה בכך את ה"נשמה" של המתמטיקה. ואכן, עסקה קלאסית עם השטן, כפי שהיא מוצגת בספרות או בקולנוע, נראית בדיוק כך: לאבד את הנשמה ואת המשמעות תמורת היעילות.
5 צפייה בגלריה
בכתביו מלאך הטופולוגיה ושטן האלגברה מנהלים קרב על נשמתו של המתמטיקאי. הרמן וייל
(צילום: ETH Zürich, Wikipedia)
העקביות המיוחלת
המתמטיקאי הצרפתי-אמריקני אנדרה וייל (Weil) כתב ב-1977 ש"אלוהים קיים כיוון שהמתמטיקה עקבית, והשטן קיים כי איננו יכולים להוכיח זאת". אם תרצו, זהו המוקד של כל הוויכוח, או ההסבר האולטימטיבי: המתמטיקה מספקת הוכחה לקיומו של אל - במשמעות של משהו גדול ויפה ונשגב, וגם לקיומו של השטן - במשמעות של עוול נצחי שמייסר את רוח האדם.
הציטוט מתייחס לעבודתו של המתמטיקאי והלוגיקן קורט גדל (Gödel). משפטי אי-השלמות של גדל שמו קץ לניסיונות בני עשרות שנים מצד גדולי המתמטיקאים להגיע אל "אבן החכמים" או "הגביע הקדוש" של המתמטיקה: להוכיח עקביות, כלומר להוכיח שהמתמטיקה חפה מסתירות. זהו סיפור דרמטי ארוך מאוד, שמכיל טרגדיות אישיות ודמויות גדולות מהחיים. אני לא מבין למה הוא עוד לא הפך לסדרת דרמה.
מיכאל גורודין, מכון דוידסון לחינוך מדעי, הזרוע החינוכית של מכון ויצמן למדע
