בנפתולי תוכנית הלימודים של בית הספר היסודי מסתתרים כמה מוקשים מתמטיים. חלקנו צולחים אותם ללא קושי בזכות נטייה טבעית למספרים, אבל עבור רבים מאיתנו הם מייצגים מחסום משמעותי. במקום לדהור קדימה על הכביש המהיר של החשיבה הכמותית, אנחנו נתקלים בדרכנו בחומה גבוהה קשה למעבר. אחת הדוגמאות הידועות לכך הם האחוזים.
מה קשה כל כך באחוזים?
לכאורה אחוז הוא עניין פשוט – מספר שמייצג חלק מתוך דבר שלם. ופה הבעיה. כי את החלק תמיד אומרים בצורה ברורה, אבל מהשלם נוטים להתעלם. לעיתים קרובות אנחנו מרגישים באופן אינטואיטיבי שיש לנו חלק מתוך שלם גדול זה או אחר, ולפעמים איננו טורחים לעצור ולחשוב מהו השלם הזה בעצם. בדרך כלל זאת לא באמת בעיה, כי השלם אכן מובן מאליו. אבל לא תמיד.
4 צפייה בגלריה
מי מאיתנו מעולם לא התבלבל בחישובי אחוזים? 110 אחוז שזה קרה לכולכם. סימן אחוז נסדק ומתפורר
(צילום: Shutterstock AI)
קושי נוסף נובע מכך שהאחוזים אומנם יושבים על אחת מארבע פעולות החשבון הבסיסיות, אבל זוהי הפעולה המסובכת ביותר מבין הארבע – החילוק. יש לה שני חלקים, מונה ומכנה, ושניהם עלולים להסתבך. המכנה גם פועל הפוך – ככל שהוא גדֵל תוצאת החילוק קטנה. בנוסף, ההשתנות אינה לינארית, כלומר לפעמים שינוי קטן במכנה יוצר שינוי עצום בתוצאה הסופית ולפעמים לא. כל דבר כזה יוצר סיבוכים נוספים.
עוד כתבות באתר מכון דוידסון לחינוך מדעי:
"קדחת העצלנים" הגיעה לאירופה
שמיעת-העל של עכברי המעבדה
לפגוע באלצהיימר כשהוא עוד קטן
בעיה שלישית היא שהאחוז מגיע כמעט תמיד כדי להשוות דברים. חלק ושלם, כאמור. אבל זה לא הכול. עוד צרה היא שלפעמים גם האחוז עצמו מושווה למשהו אחר. כלומר ההשוואה בין שני דברים מושווית בעצמה למשהו שלישי. וכדי לזרות עוד מלח על הפצעים, לפעמים המשהו הזה עצמו הוא אחוז.
ולבסוף, האחוז יוצר לעיתים קרובות בלבול בין כפל לחיבור או חיסור. הדוגמה הפשוטה ביותר היא הקטנה של משהו בעשרה אחוזים. דרך אחת לפתור את זה היא לחשב עשרה אחוזים מהשלם ואז באמת להחסיר אותם מהשלם בתרגיל חיסור. עם זאת, לרוב יהיה קל יותר ומועיל יותר לצורך החישובים הבאים להתייחס לזה כאילו לקחנו 90 אחוז מהשלם. במקרה כזה יהיה עלינו לפתור תרגיל שהוא סוג של כפל בבסיסו. כשתרגילי חיבור וחיסור משתלבים יחד בדרכים שונות ומשונות, אנחנו בדרך כלל בסדר עם זה, וגם רצפים של כפל וחילוק לא מקשים עלינו במיוחד. אבל ערבוב של שני העולמות מייצר לנו קושי מסוג חדש.
ולכן קשה לנו עם אחוזים. וכשקשה לנו אנחנו נוטים לחטוא באי-דיוקים.
חטא התוספת הכפולה:
"יש להגדיל את ההנחות ביום ההשקה ב-25 אחוז מעבר לתכנון המקורי"
הבעיה כאן היא שאנחנו לא יודעים אם להכפיל או לחבר. אז נניח שההנחה המתוכננת הייתה של 40 אחוז. האם הכוונה היא להוסיף אחוזים לאחוזים, כלומר להגיע להנחה של 65 אחוז? או אולי אנחנו אמורים לקחת את ההנחה הקיימת ולהגדיל אותה ברבע מגובהה המקורי? כלומר היות ש-25 אחוז מ-40 אחוז הם 10 אחוזים, נוסיף אותם להנחה המקורית ונקבל הנחה כוללת של 50 אחוז בלבד. אם הנהלת החנות שלחה לאנשי המכירות שלה הודעה בניסוח הזה, אף אחד לא ידע לעולם למה היא התכוונה.
חטא ריבוי ההשוואות:
"הפשיעה בישראל עלתה ב-40 אחוז לעומת ארצות הברית"
מדאיג! אבל לפני שאנחנו מוטרדים, מה זה אומר בכלל? כבר הזכרנו שאחוז הוא תמיד חלק מתוך שלם כלשהו. הבעיה בניסוח הזה היא שיש יותר מדי שלמים אפשריים. האם העלייה היא ביחס למה שהיה בעבר? במקרה הזה הפשיעה בישראל זינקה בתוך שנה ב-40 אחוז ואילו ובארצות הברית הגידול היה נמוך יותר. או ששיעור הפשיעה הנוכחי בישראל מושווה כאן לשיעור הפשיעה העכשווי בארצות הברית? ואולי התכוונו להשוות את מידת העלייה פה ושם? יש יותר מדי אפשרויות. וכשלא ברור מהו השלם, כל מה שנאמר על אחוזים לא יוכל להיות ברור.
4 צפייה בגלריה
להכפיל או לחבר? חטא כפול ומכופל. הנחה של 20 אחוז על הנחה של 50 אחוז
(צילום: Andaris Bangsawan, Shutterstock)
חטא האחוז כציון:
"כמה אנחנו טובים היום? הייתי אומר שאנחנו משחקים ברמה של 70 אחוז"
כאן בכלל לא ברור על מה אנחנו מדברים ומתוך מה. הבעיה הפעם היא לא ריבוי האפשרויות, אלא דווקא המחסור בהן. האם אנחנו מדברים על היכולת הנוכחית של הקבוצה מתוך היכולת הפוטנציאלית שלה בהרכב הנוכחי? האם ההשוואה היא לקבוצה הכי טובה כיום? לקבוצה הכי טובה אי פעם? רוצים לתת ציון? תנו ציון. תגידו 7 מתוך 10. או שהציון הוא 70. הוספת האחוזים אולי נועדה לשוות לאמירה נופך מלומד יותר, אבל בפועל היא משיגה את האפקט ההפוך.
חטא התחזית:
"90 אחוז סיכוי שהמועמד שלנו מנצח"
החטא כאן גדול מאוד, כי מכיוון שמדובר בתחזית היא מתייחסת לעתיד. אנחנו מכירים קביעות לגיטימיות לחלוטין על העתיד שמשתמשות באחוזים, למשל "יש 50 אחוז סיכוי להוציא מספר זוגי בקובייה". חטא התחזית מתחפש להן. אבל העניין הוא שאנחנו יכולים לדבר באחוזים על תוצאות גלגול הקובייה כי אנחנו יודעים בדיוק מהן התוצאות האפשריות ומה היחס ביניהן. 50 אחוז ממה? מהעתידים האפשריים. אז לגבי המועמד אנחנו אומרים שב-90 אחוז מהעתידים האפשריים המועמד שלנו מנצח. אם זה באמת מה שהתכוונתם להגיד, זכותכם. אני, מצידי, מתקשה להבין מה זה אומר, ועל מה ההערכה הזאת מבוססת.
4 צפייה בגלריה
מספר שמייצג חלק מתוך דבר שלם. ופה הבעיה. תרשים עוגה מחולק לגזרות באחוזים
(צילום: pgraphis, Shutterstock)
חטא ההיפוך:
"הבדיקה יצאה חיובית, אז יש סיכוי של 96 אחוז שאני באמת חולה"
החטא הזה חמור במיוחד, כי כאן לאחוז הזה יש מובן – מובן ברור מאוד – אבל שונה ממה שהתכוונו לומר. משפטים כאלה מתייחסים בדרך כלל לרמת הדיוק של בדיקות רפואיות. וזה נשמע הגיוני. אם כתוב שלבדיקה יש דיוק של 96 אחוז, זה בוודאי אומר שהאחוז הזה הוא הסיכוי שאני חולה. אך מתברר שלא. השאלה החשובה היא מה אנחנו יודעים ומה לא, ושוב שאלת המפתח היא "מתוך מה". מהו השלם?
הנתון על רמת הדיוק של הבדיקה אומר שב-96 אחוז מהמקרים היא תיתן תשובה נכונה. כלומר אם ידוע שאני חולה באמת, לבדיקה יש סיכוי של 96 אחוז לגלות את המחלה. המשפט בכותרת נשמע דומה, אבל למעשה הוא הופך את הצדדים. כי כשאנחנו עושים את הבדיקה אנחנו לא יודעים אם אנחנו חולים או בריאים. אנחנו יודעים רק מה מצאה הבדיקה. בין "מה הסיכוי שאני חולה באמת אם קיבלתי תוצאה חיובית בבדיקה?" לבין "מה הסיכוי שאקבל תוצאה חיובית בבדיקה אם אני באמת חולה?" יש קשר, אבל אלו לא אותם סיכויים. ולפעמים הם יכולים להיות שונים מאוד.
נדמה שהאחוזים גורמים לכולנו לחטוא בחטאים מתמטיים, אך אל דאגה. עם קצת תרגול ומחשבה נוכל להתחמק מהם בקלות ולנווט בביטחון בין השלמים והחלקים. אז בפעם הבאה שאתם נתקלים באחוזים, היזכרו במה שלמדתם וחפשו את השלם.
מיכאל גורודין, מכון דוידסון לחינוך מדעי, הזרוע החינוכית של מכון ויצמן למדע
