הגאומטריה של פיזיקת החלקיקים

אם יש מתמטיקאי הממתין בכיליון עיניים להפעלתו של מאיץ ההדרונים הגדול (LHC) על יד ז'נבה בשנה הבאה, הרי שזה אָלָאן קוֹן (Alain Connes) מהקולז' דה פרנס שבפריז. קון, כמו פיזיקאים רבים, מקווה שחלקיק היגס יופיע בגלאים. ההיגס הוא היהלום החסר בכתר ששמו "המודל הסטנדרטי": המסגרת העיונית המתארת חלקיקים תת-אטומיים ואת האינטראקציות ביניהם. עבור קון יש לגילוי ההיגס, שעל פי ההשערה מעניק מסה לחלקיקים האחרים, משמעות מכרעת: קיומו, ואפילו מסתו, נובעים ממשוואות המוכרות רק ליודעי ח"ן, ושייכוֹת לענף מתמטי חדש המכונה "גאומטריה לא קומוטטיבית", שקון הוא ממציאו הראשי.

הרעיון של קון היה להרחיב את הקשר שבין המרחב הגאומטרי על אלגברת הקואורדינטות הקרטזיות הקומוטטיבית שלו, כמו למשל קווי אורך וקווי רוחב, לבין גאומטריה המבוססת על אלגברה שאינה קומוטטיבית. באלגברה קומוטטיבית התוצר אינו תלוי בסדר הגורמים:3X5 = 5X3 אך קיימות כמה פעולות שאינן קומוטטיביות.

קחו לדוגמה מטוס פעלולים שמסוגל להתגלגל (להסתובב על ציר האורך שלו) ולבצע עלרוד (להסתובב סביב ציר המקביל לכנפיים). תארו לעצמכם טייס שקולט שדר רדיו המורה לו להתגלגל ב-90 מעלות ואז לבצע עלרוד של 90 מעלות לכיוון גחון המטוס. הכול יהיה כשורה אם ימלא הטייס את ההוראות כסדרן. אבל אם הסדר יתהפך, המטוס יצלול כלפי מטה. פעולות בקואורדינטות קרטזיות במרחב הן קומוטטיביות, אבל סיבובים בשלושה ממדים אינם קומוטטיביים.

כדי לקבל תמונה בהירה יותר של מה שקורה בטבע, פונים הפיזיקאים מדי פעם ל"מרחב הפאזה". מרחב שכזה משמש חלופה לקואורדינטות הקרטזיות - חוקר יכול לקבוע שציריו ייצגו את מיקום האלקטרון והתנע שלו, במקום פשוט לציין את נקודות הציון x ו-y שלו. בגלל עקרון האי-ודאות של הייזנברג אי אפשר למדוד את שתי התכונות האלו בעת ובעונה אחת. כתוצאה מכך מכפלת המיקום בתנע אינה שווה למכפלת התנע במיקום. לפיכך מרחב הפאזה הקוונטי איננו קומוטטיבי. יותר מזה, הכנסת אי קומוטטיביות כזאת למרחב הרגיל - למשל, על ידי כך שנהפוך את הקואורדינטות x ו-y לבלתי קומוטטיביות - יוצרת מרחב בעל גאומטריה לא קומוטטיבית.

בעקבות ניתוח מסוג זה גילה קון את התכונות המוזרות של הגאומטריה החדשה שלו, תכונות המצייתות לעקרונותיה של תורת הקוונטים. הוא בילה שלושים שנה בשכלול מחשבותיו, ולמרות שהניח את היסודות בספר שכתב כבר ב-1994, חוקרים עדיין נוהרים לשמוע את הרצאותיו. ביום סחוף רוחות וגשמים האופייניים לחודש מארס, מצטופפים כ-60 מבכירי החוקרים הצרפתיים של המתמטיקה, באולם מספר 5 של הקולז' דה פרנס. כארי בסוגר פוסע קון בן ה-59 הלוך ושוב בין שני זרקורים התלויים מעליו, מדבר במהירות, מחליף ללא הרף שקפים עמוסים במשוואות. בחוץ מייללות סירנות המשטרה מול סטודנטים מפגינים המנסים לפרוץ לאוניברסיטת הסורבון הסמוכה בתגובה להצעת חוק התעסוקה החדש שהעלתה ממשלת צרפת.

קון לא הבחין במהומה

דומה שקון אינו מודע למהומה - אפילו לאחר מכן, בשעה שהוא חוצה את רחוב סן ז'ק וחולף על פני ניידות המשטרה הכחולות והשוטרים המצוידים לפיזור הפגנות, הוא ממשיך לתאר איך מחקרו הוביל אותו לתובנות חדשות בפיזיקה. כדוגמה, מביא קון את הדרך שבה התפתחה פיזיקת החלקיקים: המושג מרחב-זמן נגזר מן האלקטרודינמיקה, אבל האלקטרודינמיקה היא חלק קטן בלבד מן המודל הסטנדרטי. חלקיקים חדשים התווספו על פי הצורך, ואישוש לקיומם הגיע כשאותם חלקיקים, שהיו בגדר תחזית, הופיעו במאיצים.

אבל המרחב-זמן שבו נעשה שימוש בתורת היחסות הכללית, שגם היא התבססה על האלקטרודינמיקה, נותר ללא שינוי. קון הציע משהו שונה לגמרי: במקום חלקיקים חדשים הוא פיתח גאומטריה מתוחכמת יותר, והדקויות שבה מייצרות את החלקיקים החדשים הללו. למעשה, הוא הצליח ליצור מרחב לא קומוטטיבי שמכיל את כל האלגברות המופשטות (הידועות בשם "חבורות סימטריה") המתארות את תכונות החלקיקים האלמנטריים שבמודל הסטנדרטי.

התמונה העולה מתוך המודל הסטנדרטי היא אפוא תמונה של המרחב-זמן כמרחב לא קומוטטיבי שאפשר לראות אותו כמורכב משתי שכבות של רצף, כמו שני צדיו של גיליון נייר. הרווח שבין שני צדי הנייר הוא מרחב נוסף, בדיד (בלתי רציף) ולא קומוטטיבי. החלק הבדיד יוצר את ההיגס, בעוד החלקים הרציפים יוצרים את חלקיקי הכיול, כמו החלקיקים W ו-Z, שבאמצעותם מועבר הכוח החלש.

קון השתכנע כי לא זו בלבד שהחישובים הפיזיקליים משקפים מציאות, אלא אף שמאחורי חזותם המורכבת למראה מסתתרות אבני חן מתמטיות. כל מה שנדרש הוא כלי שיוכל להציץ אל תוך המורכבות, באותו אופן שמיקרוסקופ אלקטרונים חושף מבנה מולקולרי. קון אומר ש"מיקרוסקופ האלקטרונים" שלו הוא הגאומטריה הלא קומוטטיבית. "מה שבאמת מעניין אותי הם החישובים הסבוכים שמבצעים פיזיקאים ושנבדקים בניסוי," הוא מצהיר. "חישובים אלו נבדקים עד תשע ספרות אחרי הנקודה, כך שאפשר להיות סמוכים ובטוחים שניתקל באבן חן, כלומר בדבר מה הדורש הבהרה."

אחת מאבני החן טמנה בתוכה אינסופים. למרות שהמודל הסטנדרטי התברר כהצלחה מסחררת, הוא נתקל חיש מהר במכשלה: ברבים מן החישובים שלו הופיעו ערכים אינסופיים. פיזיקאים, בהם ג'רארד ט'הופט ומרטינוס פלטמן מאוניברסיטת אוטרכט שבהולנד, פתרו את הבעיה באמצעות הצגת שיטה מתמטית חדשה המכונה "רנורמליזציה".

באמצעות כוונון של ערכים מסוימים במודל, הצליחו הפיזיקאים להימנע מאינסופים אלו ולחשב תכונות חלקיקים העולות בקנה אחד עם המציאות.

מידה של רמאות?

למרות שחוקרים מסוימים ראו בטכניקה זו מידה מסוימת של רמאות, בשביל קון הפכה הרנורמליזציה להזדמנות נוספת לחקור את המרחב שבו מתגוררת הפיזיקה. אבל הדבר לא היה קל. "ביליתי 20 שנה בניסיון להבין את הרנורמליזציה. אין זאת שלא הבנתי מה עשו הפיזיקאים, אלא שלא הבנתי מה משמעות המתמטיקה העומדת מאחורי זה," אומר קון. הוא והפיזיקאי דירק קריימר מן המכון ללימודי מדע גבוהים שעל יד פריז הבינו עד מהרה שהמתכון לביטול אינסופים קשור בעצם לאחת מ-23 הבעיות הגדולות במתמטיקה, שניסח דייויד הילברט ב- 1900, בעיה שבאה כבר על פתרונה. הקישור העניק לרנורמליזציה ביסוס מתמטי קפדני - היא כבר איננה "רמאות".

הקשר שבין רנורמליזציה לבין גאומטריה לא קומוטטיבית משמש כנקודת מוצא לאיחוד של תורת היחסות עם מכניקת הקוונטים, ולפיכך לתיאור מלא של הכבידה. "עלינו לעבור כעת לשלב הבא - עלינו לנסות להבין כיצד מרחב בעל ממדים שבורים," שמופיע בגאומטריה לא קומוטטיבית, "מתקשר לכבידה," טוען קון. הוא כבר הראה, בשיתוף עם הפיזיקאי קרלו רובֵלי מאוניברסיטת מרסיי, שמושג הזמן יכול לעלות באופן טבעי מתוך האי-קומוטטיביות של הגדלים הנצפים של הכבידה. אפשר להשוות את הזמן לתכונה כגון טמפרטורה, הזקוקה לאטומים כדי להתקיים, מסביר רובלי.

ומה בדבר תורת המיתרים? האם היא אינה מאחדת את הכבידה ואת העולם הקוונטי? קון טוען כי הגישה שלו, המחפשת את המתמטיקה שמאחורי התופעה הפיזיקלית, שונה ביסודה מגישתם של תיאורטיקני המיתרים. שכן תורת המיתרים אינה ניתנת לבחינה ישירה - היא עוסקת באנרגיות שאי אפשר לייצר במעבדה - ואילו הגאומטריה הלא קומוטטיבית מניבה תחזיות שאפשר להעמיד למבחן, כגון מסת היגס (160 מיליארד אלקטרון-וולט), ולטענתו אפשר לאמת אפילו את הרנורמליזציה.

מאיץ ההדרונים הגדול לא רק יבחן את המתמטיקה של קון, אלא גם יפיק עבורו נתונים שיאפשרו לו להרחיב את עבודתו לקני מידה קטנים יותר. "גאומטריה לא קומוטטיבית מציידת אותנו כעת במודל של מרחב-זמן המגיע עד ל-10-16 סנטימטרים," אומר קון. זו אפילו אינה מחצית הדרך. אבל בעיני קון, אין ספק שהכוס נראית חצי מלאה.