פילוסופיה: איך נהיה בטוחים שכל העורבים הם שחורים?

אי-אפשר לפקפק בכך שהמדע המודרני הביא לצמיחה עצומה בידע האנושי במאות השנים האחרונות. יחד עם זאת, העקרונות שעליהם נשען המדע בניסיונו לפענח את סודות הטבע הועמדו לא פעם בסימן שאלה. הפרדוקס שנדון בו להלן מהווה בחינה ביקורתית של אחדים מעקרונות אלה.

ליכולתנו לזהות סדירויות בטבע יש חשיבות רבה: אנו למדים באילו עונות בשנה ניתן לגדל גידולים חקלאיים שונים, אילו חומרים מתאימים ביותר להכנת כלים, בגדים או בתים, אילו בעלי-חיים מסוכנים לנו, אילו מאכלים משביעים אותנו, מי ממכרינו מיטיב עמנו ומי מרע, וכיוצא באלה.

יכולתנו זו לזהות סדירויות מבוססת על מנגנון הכרתי פשוט יחסית: אם אנחנו מבחינים בתופעה החוזרת ונשנית (למשל, אנו מגלים בילדותנו המוקדמת שחפצים שאינם נתמכים נופלים ארצה), אנחנו נוטים לשער שמדובר בתופעה כללית (כלומר, שכל דבר שאינו נתמך נופל ארצה). כל הישנות של התופעה מחזקת את ביטחוננו בהשערה, בעוד שכל חריגה ממנה (למשל, בלון מלא הליום או מטוס החג בשמיים) מביאה אותנו להבנה שהיא שגויה, ואז אנו יכולים לנסות ולהעלות השערה חדשה, המתאימה לתצפיות.

הפרדוקס

באופן דומה, גם המדע מעלה השערות המסתמכות על תופעות חוזרות ונשנות, כשכל תצפית התואמת את ההשערה נתפשת כמאששת אותה, בעוד שתצפית שאינה תואמת אותה נתפשת כמפריכה אותה. למשל, אם זואולוגים וצפרים חובבים הבחינו

עד היום רק בעורבים שחורים, יהיה זה סביר לשער שכל העורבים שחורים.

כל עורב שחור נוסף שנבחין בו יאשש השערה זו, אך אם יתגלה באחד הימים עורב בעל צבע שונה, השערתנו תופרך.

העיקרון שמקרים פרטיים של טענה כוללת מאששים אותה נקרא עקרון ניקו, על שמו של הפילוסוף והלוגיקן הצרפתי ז'אן ז'ורז' פְּייר ניקו (Nicod), שהציע עקרון זה בתחילת המאה ה-20. על פניו עיקרון זה נראה מתקבל על הדעת: אם נשער (לאחר שהבחנו בכך פעמים אחדות), שלאחר כל ברק נשמע קול רעם, הרי שכל מקרה כזה, של ברק המלווה ברעם, יאשש את השערתנו ויגביר את ביטחוננו בה.

עיקרון שני שאנו נוטים לקבל מבוסס על מושג השקילות הלוגית, והוא נקרא בשל כך עקרון השקילות. שתי טענות נקראות שקולות לוגית אם לשתיהן יש בהכרח אותו ערך אמת, כלומר, כשאחת מהן אמיתית כך גם האחרת, וכשאחת מהן שקרית כך גם זו השקולה לה. למשל, שתי הטענות "אם השעה 12 בצהריים, יש אור בחוץ" ו"אם אין אור בחוץ, השעה אינה 12 בצהריים" הן טענות שקולות, משום שאם אחת מהן אמיתית כך גם האחרת.

קל לראות, שכל טענה מהסוג "אם A אז B" שקולה לטענה "אם לא B אז לא A". באופן דומה גם שתי הטענות "כל A הוא B" ו"כל מה שאינו B אינו A" הן שקולות. למשל: הטענה "כל העורבים שחורים" שקולה לטענה "כל מה שאינו שחור אינו עורב", שכן אמיתותה של אחת מהטענות גוררת בהכרח גם את אמיתותה של הטענה האחרת. על פי עקרון השקילות, כל מקרה המאשש טענה מסוימת מאשש בהכרח גם כל טענה השקולה לה. שהרי אם ביטחוננו בהשערה שכל העורבים שחורים גדל, בהכרח גדל גם ביטחוננו בהשערה שכל מה שאינו שחור אינו עורב, ולהפך.

ואולם, השילוב של עקרון ניקו עם עקרון השקילות מביא אותנו למסקנה מפתיעה: על פי עקרון ניקו, המקרים האמורים לאשש את ההשערה "כל מה שאינו שחור אינו עורב" הם דברים שאינם שחורים, למשל: נעל לבנה, קופסה אדומה, עיפרון צהוב וכדומה. אולם על פי עקרון השקילות, כל אלו אמורים לאשש גם את הטענה השקולה לה, שהיא: "כל העורבים שחורים". נובע מכך שאם נמצא בחצר ביתנו נעל לבנה, יהיה הדבר בבחינת אישוש להשערה שכל העורבים שחורים!

נקודות למחשבה

פרדוקס זה נובע מהעובדה שהנחות סבירות (עקרון ניקו ועקרון השקילות) מובילות במהלך לוגי סביר למסקנה בלתי סבירה (שנעל לבנה מאששת את ההשערה שכל העורבים שחורים). אם כן, כדי לצאת מהסבך שנקלענו אליו, עלינו לוותר לפחות על אחת ההנחות, או לפקפק בלגיטימיות של המהלך הלוגי, או לקבל את המסקנה, תהיה בלתי סבירה ככל שתהיה. איזה כיוון פתרון הייתם בוחרים במקרה זה?

אילו ראיתם ציפור לבנה במרחקים, ומשהתקרבתם גיליתם שאין זה עורב אלא יונה, האם הייתם מוכנים לראות בכך אישוש-מה להשערה שכל העורבים שחורים (אולי בניגוד לנעל הלבנה שמצאתם בחצר הבית)?

האם העובדה שמספר הדברים הלא-שחורים בעולם גדול באופן משמעותי ממספר העורבים נראית לכם רלוונטית לענייננו?

כיווני פתרון לפרדוקס

הֶמפל עצמו היה מוכן לקבל את המסקנה, על אף היותה בלתי סבירה. לטענתו, מידת האישוש של עורב שחור להשערה שכל העורבים הם שחורים (ולטענה השקולה לה) גדולה באופן משמעותי ממידת האישוש של נעל לבנה לטענה שכל מה שאינו שחור אינו עורב (ולטענה השקולה לה), וזאת מהסיבה שמספר העורבים בעולם קטן משמעותית ממספר הדברים שאינם שחורים. לו מספר הדברים הלא-שחורים בעולם (או לצורך העניין – בתוך אולם גדול) היה כמספר העורבים השחורים בו, הרי שכל דבר שאינו שחור ואינו עורב היה מאשש את שתי הטענות השקולות באותה מידה שעורב שחור היה עושה זאת.

לא כולם קיבלו את עמדתו של המפל, והיו כאלו שבחרו לתקוף לפחות את אחד העקרונות שבבסיס הפרדוקס. עקרון ניקו, למשל, נחשב לבעייתי במיוחד. האם כל מקרה שתואם את ההשערה אכן מאשש אותה? למשל, אם אנחנו משערים שאין בביתנו עכברים (או בניסוח המסורבל יותר: כל העכברים נמצאים מחוץ לביתנו), האם עכבר שהיינו מגלים מחוץ לבית היה מאשש את ההשערה? הרי נוכל למצוא מספר כלשהו של עכברים ברחוב או בשדה, ועדיין לא נדע אם יש עכבר בבית או לא. אי לכך יש המוכנים לוותר על עקרון ניקו, ולטעון שמציאת נעל לבנה אין בה כדי לאשש את ההשערה שכל מה שאינו שחור איננו עורב.

יש גם המבקרים את עקרון השקילות, וטוענים שיש להפריד בין התהליך המדעי של אישוש השערות לבין היסקים לוגיים. לכן, אומרים חסידי עמדה זו, נעל לבנה אכן מאששת את ההשערה שכל מה שאינו שחור אינו עורב, אך לא את ההשערה שכל העורבים שחורים. זאת אף על פי שהטענות שקולות לוגית ואמיתותה של אחת מהן גוררת את אמיתותה של האחרת.

עמדה אחרונה זו, אף שיש הדוגלים בה, אינה פופולרית במיוחד, וזאת משום שבחקירה המדעית מעורבים תמיד גם היסקים לוגיים, ונראה שמהוצאתם מכללי המשחק נפסיד יותר מאשר נרוויח. הוויתור על עקרון ניקו מקובל יותר כפתרון לפרדוקס העורבים, אולם נראה שיש כאן בבחינת "השלכת התינוק עם המים". אין ספק שעקרון ניקו דורש תיקונים, אך חבל יהיה לוותר עליו לחלוטין, שכן הוא מהווה כלי חשוב הן בחשיבה היומיומית והן בעשייה המדעית.

כיצד נוכל, אם כן, לשפר אותו?

יהיה זה סביר לדרוש שרק מקרה שיש ביכולתו להפריך את ההשערה יוכל גם לאשש אותה. כדי להפריך את ההשערה שאין עכברים בבית, יש לחפש אותם בבית ולא מחוצה לו. אם אכן נמצא עכבר בבית, הדבר יפריך את ההשערה, לכן ככל שנמשיך לחפש בבית מבלי למצוא בו עכבר, נאשש אותה. לעומת זאת חיפוש עכברים מחוץ לבית לא יכול להביא להפרכת ההשערה, ועל כן גם לא יכול להביא לאישושה.

תחת אילוץ חדש זה שהוספנו לעקרון ניקו, ניווכח שדבר שאינו שחור עשוי לאשש את

ההשערה שכל מה שאינו שחור אינו עורב רק בתנאים מסוימים: אם אנחנו מזהים בחצר נעל, הרי שאין בעובדה זו כדי להפריך את ההשערה שכל מה שאינו שחור אינו עורב (כי רק עורב שאינו שחור יכול להפריך אותה, ומאחר שאנו יודעים שמדובר בנעל, תנאי זה אינו מתקיים).

לעומת זאת, אם נראה מרחוק ציפור לבנה בלתי מזוהה, הרי שציפור זו עשויה מבחינתנו להיות גם עורב, וכך להפריך את ההשערה.

כשתתקרב אלינו הציפור, ונראה שאין זו אלא יונה, יהווה עבורנו הדבר אישוש להשערה שכל מה שאיננו שחור איננו עורב. כלומר, בכל מצב שנבחין בדבר-מה שאיננו שחור, ועל פי סך כל המידע שבידינו הדבר עשוי להיות עורב, הרי שזיהויו הסופי כמשהו שאיננו עורב יאשש את ההשערה, שכל מה שאינו שחור אינו עורב, וכך גם את ההשערה השקולה לה לוגית, והיא שכל העורבים הם שחורים (ניתן להעלות על הדעת תסריט שבו אפילו נעל לבנה עשויה לספק אישוש להשערה).

אם כן, חזרנו להצעה המקורית של הֶמפל, אך הוספנו לעקרון ניקו את האילוץ שרק מקרה שיש בו כדי להפריך את ההשערה יכול גם לאשש אותה. כמו כן אנחנו מאמצים בפתרון זה את עמדתו של המפל שבשל הכמות הקטנה של עורבים שחורים ביחס לדברים שאינם שחורים, עורב שחור מאשש את ההשערה במידה רבה יותר מדבר שאינו שחור (בכפוף, כמובן, לתנאי שהוספנו). אין בכך כדי לפגוע בעקרון השקילות, משום שעורב שחור מאשש באותה מידה את שתי הטענות השקולות, וגם דבר שאינו שחור ואינו עורב מאשש את שתיהן באותה מידה (אם כי פחותה באופן משמעותי מזו של עורב שחור).

לקינוח

ההשערה שאין אדם שגובהו מגיע ל-3 מטרים היא השערה המאוששת מדי יום במפגשינו עם אנשים. השערה השקולה להשערה זו היא ההשערה: כל מה שגובהו 3 מטרים ומעלה איננו אדם. האם ההשערה שאין אדם שגובהו מגיע ל-3 מטרים מאוששת אם כן מדי יום גם על-ידי הבניינים הגבוהים הנקרים בדרכנו? האם תוכלו לחשוב על תסריט שבו בניין גבוה אכן יאשש את ההשערה?

מתוך מגזין "גלילאו"