גאון מתמטי: מה חוקר אילון לינדנשטראוס?
הבנה של מערכות דינמיות כמו תנועת כוכבי הלכת סביב השמש או חלקיקים במיכל גז, לצד גילויים מתמטיים בתורת הקוונטים, זיכתה את פרופ' אילון לינדנשטראוס בפרס פילדס החשוב. פרופ' בנימין ווייס מספר על עבודתו של תלמידו המצטיין
פרופ' אילון לינדנשטראוס מהאוניברסיטה העברית זכה הבוקר במדליית פילדס
לשנת 2010, הנחשבת לפרס הנובל של עולם המתמטיקה. המדליה ניתנת אחת לארבע שנים לצעירים עד גיל 40, ולינדנשטראוס הוא הישראלי הראשון שזכה בפרס.
פרופ' בנימין ווייס ממכון איינשטיין למתמטיקה שבאוניברסיטה העברית בירושלים, הנחה את לינדנשטראוס בעבודת הדוקטורט שלו. בראיון ל-ynet הוא מספר על עבודתו החלוצית של התלמיד המצטיין ועל תחום התמחותו:
"לינדנשטראוס מתמחה בתורה מתמטית של מערכות דינמיות, שהן מערכות פיסיקליות המתפתחות בזמן, כמו למשל מערכת השמש. ניוטון היה זה שמצא משוואות שמתארות את ההתפתחות של המערכות האלה בזמן, כשמערכות דינמיות יכולות להיות מסוגים שונים:
ישנן מערכות שהן מחזוריות יותר כמו למשל התנועה של כוכבי הלכת סביב השמש או הירח, וישנן מערכות שהן יותר כאוטיות ומורכבות מהרבה חלקיקים. גז למשל, היא מערכת שיש בה מספר דמיוני של חלקיקים, פרודות שנעות בתוך האטמוספרה או בתוך הכלי שלהן בתנועה שהיא כאוטית מאוד וכלל לא מחזורית.
כבר במאה ה-19 הפיזיקאים החלו לפתח תורות שיתארו את ההתנהגות הכאוטית הזאת בעזרת שיטות הסתברותיות, מה שכונה "המכניקה הסטטיסטית". מתוך המחקר ההוא צמחה התורה הארגודית, שאותה לינדנשטראוס חוקר".
במה עסקה עבודת הדוקטורט של לינדנשטראוס?
"כבר לפני קצת יותר משישים שנה, מתמטיקאי בשם קלוד שאנון (Claude Shannon), אבי תורת האינפורמציה, טבע מושג חדש בשם "אנטרופיה", שהפך למושג מפתח בתורת התקשורת והמידע, והיום הוא הבסיס של כל התקשורת המודרנית ושל תורת האותות.
אנטרופיה היא מדד של אי סדר: ככל שמשהו מקרי יותר, כך האנטרופיה שלו גדולה יותר. ככל שמשהו רגולרי יותר, מחזורי, כך האנטרופיה קטנה. אנטרופיה 0 מתאימה למערכות דטרמיניסטיות, שהן מחזוריות מאוד.
כשלמערכת יש אנטרופיה 0, ניתן לנבא את מה שיקרה מחר על סמך ידיעת העבר. לעומת זאת, אנטרופיה חיובית מצביעה על מקריות, כשככל שהאנטרופיה גבוהה יותר כל המקריות גדלה.
עשור מאוחר יותר אחרי עבודתו של שאנון, המתמטיקאי הדגול אנדריי קולומוגורוב, השתמש באנטרופיה בתוך התורה הארגודית של המערכות הדינמיות. פרופ' לינדנשטראוס הרחיב את המושג הזה וקישר בין האנטרופיה לתורה טופולוגית, גיאומטרית, שמכונה "תורת המימד".
כשהאנטרופיה היא אינסופית אז היא מפסיקה לשמש כמדד, ולינדנשטראוס פיתח תורה שמבחינה בין מערכות שונות שיש להן אנתרופיה אינסופית. כשנה אחרי שהוא קיבל את הדוקטורט בהדרכתי, הוא זכה בפרס ע"ש בלומנטל, על עבודת הדוקטורט הטובה ביותר".
מהן העבודות שזיכו אותו בפרס פילדס?
"עבודות שהשתמשו בשיטות מהתורה הארגודית: אילון הוכיח משפטים מהתורה הזאת ובעזרתם פתר בעיות בתורת המספרים, אחת התורות הבסיסיות במתמטיקה שחוקרת את אופי המספרים, שמתחלקים בראש ובראשונה למספרים רציונאליים ואי-רציונאליים.
אחת הבעיות שהוא עסק בהן נוסחה על ידי מתמטיקאי אנגלי בשם ג'ון ליטלווד (John Littlewood), ששיער השערה לגבי קירובים של מספרים אי-רציונאליים.
השאלה של ליטלווד לכאורה לא קרובה לתורה הארגודית, אך כבר בעבר מצאו קשרים ביניהן, ומתברר שאפשר לנסח שאלה בתחום התורה הארגודית כך שאם עונים עליה, אפשר לפתור את בעיית ליטלווד. יחד עם חוקרים אחרים אילון מצא דרך להתקדם לקראת תשובה מלאה לשאלה של ליטלווד, וזאת אחת הבעיות שעליהן הוא זכה בפרס.
בעיה אחרת נקראת quantum unique ergodicity והיא קשורה לפיסיקה מודרנית ולתורת הקוונטים. בתורת הקוונטים לא עוסקים במיקום מדויק של חלקיק אלא בהסתברות למצוא חלקיק באזור מסוים, לכן חלקיק איננו נקודה אלא התפלגות. אילון הראה שבמערכות מסוימות, באנרגיות גבוהות, ההתפלגויות האלה קרובות מאוד להתפלגות אחידה.
את הפרס קיבל אילון על השיטות הללו שהכניס, ולמרות שכרגע אין להן יישומים נראים לעין, אין לדעת כיצד הן יסייעו לנו בעתיד. חשוב לזכור שלפני 50 שנה חשבו שלתורת המספרים אין שימוש מלבד הערך התיאורטי החשוב שלה, ואילו היום כל התקשורת המוצפנת מבוססת על הגילויים בתורת המספרים".
פרופ' אילון לינדנשטראוס
צילום: ששון תירם
פרופ' בנימין ווייס
צילום: ר. ווייס
