"חוקרים פרטיים": יש סדר בבלגן!

כוכבים. מה אתם רואים?

בסרט Beautiful Mind יש קטע יפה ורומנטי שבו הגיבור, המתמטיקאי ג'ון נאש (שזכה בהמשך בפרס נובל בכלכלה) ובת זוגו מתבוננים בכוכבים. נאש מבקש מבת זוגו לבחור צורה, והיא בוחרת מטרייה. נאש לוקח את ידה ומשרטט איתה תבנית בכוכבים בצורת מטרייה - וזוכה בליבה. מאחורי תעלול החיזור הזה יושבת תובנה מתמטית יפיפייה, שבבסיסה עומד משפט מתמטי עמוק שאפשר לפרשו כ"יש סדר בבלגן" והוא חלק מתורה כללית הנקראת "תורת רמזי". במקרה של כוכבים המשפט אומר שאם יש הרבה מאוד כוכבים אז אפשר למצוא בהם קבוצת כוכבים שיוצרת כל צורה שתחפשו - למשל מטריה. המשפט הזה הוכח ב-1978 (כשנאש כבר היה בן 50, ולכן כנראה לא הכיר אותו כשחיזר אחרי זוגתו ...) על ידי שני חוקרים: המתמטיקאי הישראלי - הילל פירסטנברג ושותפו הישראלי לשעבר יצחק כצנלסון.

חוקרים פרטיים - לכל הכתבות

במשפט הזה נתקלתי כבר בתחילת לימודי התואר השני, והוא מיד שבה אותי בקסמו. בעבודת הדוקטורט שלי חקרתי לעומק את התופעה הזו - של סדר בבלגן (ולא בגלל שאני בלגניסטית גדולה). דוגמה לקבוצה "מסודרת" היא סדרה חשבונית - זהו אוסף מספרים שהמרחק בין כל שניים עוקבים הוא קבוע - למשל 4,7,10,13,16 היא סידרה חשבונית שבה ההפרש בין כל שני מספרים עוקבים הוא שלוש.

פרופ' תמר ציגלר

קבוצה אחרת חשובה של מספרים היא קבוצת המספרים הראשוניים. מספר הוא ראשוני אם הוא מתחלק רק ב-1 או בעצמו, והמספרים הראשוניים מתחילים ב: 2,3,5,7,11,13,17. המספרים הראשוניים הם "אבני הבניין" של המספרים הטבעיים, כי כל מספר ניתן להציג כמכפלת מספרים ראשוניים, למשל 18 זה 3*3*2. המספרים הראשוניים מעסיקים מתמטיקאים כבר אלפי שנים, והם קבוצה לא מסודרת כלל. אפשר להתרשם מכך אם בוחנים טבלאות גדולות של מספרים ראשוניים. היות והם בלתי צפויים, אי אפשר לתאר אותם על ידי נוסחה - אפשר רק לבחון טבלאות של כל המספרים הראשוניים שמצאו עד היום. אבל בכל זאת, יש אינסוף מספרים ראשוניים, אז אולי אפשר למצוא באוסף האינסופי הזה של המספרים הראשוניים, שממש אין לו מבנה מסודר, אוסף מספרים מסודר - כמו סדרה חשבונית? התשובה לא הייתה ידועה הרבה מאוד שנים.

כשהיותי בפוסט-דוקטורט, התרחשה פריצת דרך שהסעירה אז את העולם המתמטי: המתמטיקאים בן גרין וטרנס וטאו הוכיחו שאכן יש סדרות חשבוניות שכל המספרים בהן הם מספרים ראשונים - סדרות בכל אורך שתרצו. אני זוכרת את ההתרגשות שהרגשתי כשראיתי את המאמר שלהם לראשונה באתר האינטרנט arxiv.org - האתר הזה הוא כמו "לוח המודעות" של חידושים מדעיים. מה שהיה נהדר מבחינתי היה שהתגלתה דרך להשתמש ברעיון הזה של ״סדר בבלגן״ במספרים הראשוניים! כך יכולתי לייבא את התובנות שצברתי במשך שנים על תופעת הסדר בבלגן וליישמן למספרים ראשוניים.

למשל, בעבודה משותפת עם זוג המתמטיקאים הזה, פתרנו בעיה מתמטית מפורסמת בת כ-100 שנה על פתרונות של משואות לינאריות במספרים ראשוניים. לדוגמה: אם נתבונן בצמד המשואות x+y=2z, y+z=w+1 - קל מאוד למצוא להן אינסוף פתרונות x,y,z,w מספרים טבעיים, אך אנו הראנו שיש אינסוף פתרונות לזוג המשוואות עם x,y,z,w מספרים ראשוניים. כשאני מסתכלת לאחור על השתלשלות העניינים אני לא מפסיקה להתפעל. בזמן שעבדתי על הדוקטורט בכלל לא חשבתי על בעיות במספרים ראשוניים, הייתי שקועה כל כולי בבעיות שעניינו אותי. ואז באופן מפתיע הייתה התקדמות במקום אחר על ידי אנשים אחרים שבכלל לא הכרתי, שפתאום הפכה את המחקר שלי לכל כך רלוונטי לבעיות עתיקות יומין בתורת המספרים. זה די מדהים.

חוקרים פרטיים הוא מדור שבועי בערוץ הלימודים של ynet, שבו מסבירים חוקרים מדוע החליטו לעסוק בתחום המחקר שלהם. המדור נעשה בסיוע "האקדמיה הצעירה הישראלית".