האיש ששינה את המתמטיקה

איזה שם עולה לכם לראש כשאתם מתבקשים לחשוב על מתמטיקאי מפורסם מההיסטוריה? חשבו על מתמטיקאים מפורסמים מההיסטוריה (מפורסם יחסית. בכל זאת, אחרי הכל מדובר במתמטיקאים). יכול להיות שחשבתם על פיתגורס, אוקלידס או ארכימדס - ענקי העולם העתיק, שכולם חיו כולם נולדו לפני יותר מ-2,000 שנה. אולי ראיתם לאחרונה סרט על אלן טיורינג או ג'ון נאש, שחיו במאה ה-20, וייתכן שקראתם משהו על ניוטון, פסקל, או ששמעתם על המשפט האחרון של פרמה. כל אלה נולדו לפחות 1,500 שנים אחרי היוונים הקדמונים. על הפער הזה מגשר רנה דקארט (Descartes), והמעבר מהמתמטיקה העתיקה למודרנית נעוץ בעבודתו המתמטית.

ילדוּת בין העולמות

נדמה כי דקארט בילה את כל חייו על התפר שבין עולמות שונים. הוא נולד באביב של 1596 לתוך אירופה שהחלה להחלים מעידן של מגיפות, שינויים ומלחמות דת, שמוססו את כל המסגרות הקפואות של ימי הביניים. אך היה זה היה גם עידן של התחלות חדשות. הרנסנס פרץ באירופה, ואיתו ההזדמנות לחשוב על הכול מחדש. הכנסייה הקתולית איבדה שליטה על חצי מהיבשת, וכדי לעצור את הסחף הקימה מסדר חדש: הישועים. אלה הקימו רשת של בתי ספר, במטרה ברורה ומוצהרת למשוך אליהם את כל בני הטובים של אירופה.

דקארט נולד בעמק הלואר שבצרפת. בגיל 11 התייתם מאמו. אביו, שהיה שופט אמיד מאוד ועסוק מאוד, שלח את בנו לישועים. מצד אחד, שם הוא נחשף לאמונה באמת אחת ומוחלטת שהכתיבה הדוֹגמה הדתית: "אאמין כי הלבן אשר אני רואה הוא שחור, אם הממונים עלי בכנסייה יגדירו אותו כשחור", קבע מייסד המסדר. מצד שני העניקו הישועים לתלמידיהם השכלה אמיתית ורחבת היקף - הטובה ביותר שניתן היה למצוא באירופה.

רנה הצעיר היה ילד חולני, וקיבל אישור מיוחד שלא לקום ב-5:00 בבוקר עם כולם, אלא להישאר במיטתו עד הצהריים. כך הוא יקבל את הכינוי "הפילוסוף הקטן" ושם, כך העיד על עצמו מאוחר יותר, בשעות שבילה במנוחה לבד ובשקט, החלו ההרהורים שמאוחר יותר יבשילו ויבשרו עידן חדש בפילוסופיה ובמתמטיקה. דקארט אהב את בית הספר ואת מוריו, אך אולי בשל סדר היום המיוחד שלו, לא היה לגמרי "אחד מהם" - ובלבו ובמוחו החלו לקנן הספקות ואהבת האמת.

השנים הסוערות

בשנת 1614 סיים דקארט את לימודיו ועבר מבית הספר הרגוע, גם אם הנוקשה והדתי, ללמוד באוניברסיטה בפריז. בלימודים נחשף לכתביו המהפכניים של קופרניקוס על תנועתם של גרמי השמיים (ועל האפשרות המרומזת שכדור הארץ אינו מרכז היקום). אלה עמדו בניגוד מוחלט לדוֹגמה שלמד בבית הספר, בעיקר מכיוון שהעלו על נס את ההתנסות, ואת המידע שהאדם צובר בעצמו בעזרת חושים ותצפיות, ולא מהסתמכות על תיאוריה.

רנה דקארט בחדר העבודה שלו(צילום: מתוך ויקיפדיה)

לאחר שהוסמך כעורך דין (ולא כמתמטיקאי), כנראה בעיקר כדי לרצות את אביו, הוא לא עבד אפילו יום אחד במקצוע. במקום זאת, חיפש דקארט בן ה-20 ריגושים חדשים מצד אחד, וסביבה שבה יוכל לעבוד בשקט על רעיונותיו מצד שני. זה בבירור לא יכול לקרות בפריז, וההזדמנות המפתיעה מגיעה דווקא כשבשנת 1619 פורצת מלחמה בצ'כיה. הצבא אז הוא לא הצבא היום, והמלחמות הן "מלחמות של ג'נטלמנים". דקארט מתגייס כקצין, ומוותר על המשכורת, מה שמעניק לו מעמד מיוחד בצבא ושחשוב במיוחד - כמעט אפס חובות. כך הוא יוצא אל העולם הגדול כדי להמשיך בהרהוריו.

דווקא בצבא התעורר עניינו המיוחד במתמטיקה, דרך מפגש מקרי עם חייל הולנדי. דקארט נחשף לשאלות גיאומטריות שהעסיקו עוד את היוונים הקדמונים, כמו בעיית הכפלת הקובייה: בהינתן קוביה מסויימת, איך אפשר לשרטט קובייה בעלת נפח כפול תוך שימוש בסרגל ומחוגה בלבד. זו שאלה שבמשך כמעט 2,000 שנים איש לא הצליח לפתור, ולא במקרה. דקארט לא ניסה לחפש את הפתרון, אלא להוכיח שאי אפשר לפתור כלל את הבעיה באמצעים האלה. הוא לא עשה זאת בדרכים המסורתיות, תוך שימוש בכללי הגיאומטריה. גם כאן הוא עמד להקים גשר בין שני עולמות מתמטיים שהיו עד כה נפרדים לחלוטין.

כדי לגבש את רעיונותיו לכדי הבשלה מלאה בילה עוד שמונה שנים בנדודים. איננו יודעים כמעט דבר על קורותיו בשנים האלה, אבל בשנת 1628 התיישב דקארט בהולנד, ושם התחיל לעבוד על חיבור חייו.

העולם והמתודה

הספר שדקארט רצה לכתוב, היה אמור לדבר על העולם, ולתת צורת הסתכלות חדשה על כל היבטי החיים. צורת הסתכלות שחורגת גם מהדוגמה הדתית שהייתה מקובלת בימיו, וגם מהפיזיקה של אריסטו, שעדיין שלטה באוניברסיטאות כמעט 2,000 שנים אחרי מותו של גדול הפילוסופים. הוא כתב את הספר כמעט במלואו ואז גנז אותו. אולי בגלל משבר גיל ה-40, ואולי בגלל משפט גליליאו שהיה בשנת 1632 והדגים כמה רחוק תלך הכנסייה הקתולית כדי להגן על אמונותיה.

דיוקנו של רנה דקארט(צילום: shuttertock)

דקארט זנח את "העולם", ובשנת 1637 פירסם את החיבור שקנה לו מקום בהיכל התהילה של האנושות: "מחשבות על המתודה". בטקסט הפילוסופי הזה מופיע אחד המשפטים הידועים והחשובים ביותר בתולדות החשיבה האנושית: "אני חושב משמע אני קיים". חיבור זה יהיה אות ומופת לחשיבה הספקנית. דקארט מתחיל בכך שהוא מטיל ספק בכל - ודווקא מתוך כך עושה את דרכו אל אמיתות שאי אפשר לערער עליהן. הוא עובד בדיוק מתמטי כמעט גם בפילוסופיה שלו, ומקפיד להוכיח כל טענה.

לחיבור זה מצורפים שלושה נספחים. שניים מהם עוסקים באופטיקה ובמטאורולוגיה, והם כנראה שרידיו של החיבור שלא פורסם, "העולם". אלה עבודות מרשימות ללא ספק, אבל כל הפיזיקה של דקארט תוחלף תוך פחות ממאה בפיזיקה של ניוטון, ועבודתו זו תאבד כליל את הרלוונטיות שלה. דווקא הנספח הנוסף, הטכני מכולם, שלא מנסה לתאר את העולם ועוסק בגיאומטריה, ישנה לעד את פני המתמטיקה.

אנליזה בארץ הפלאות

בלי לשים לב, אנחנו משתמשים כל יום בעבודתו של דקארט: כל המפות שלנו מסודרות על ריבועים, עם קווי אורך וקווי רוחב; כל הגרפיקאים עובדים עם פיקסלים שממוקמים על המסך בשורות ועמודות; סטטיסטיקאים מספרים לנו על העולם בדיאגרמות שבהן לעמודות יש מספרים; מדענים מציגים את הטבע בגרפים מסובכים שבהם ציר אחד יכול להיות הזמן, וציר אחר מתאר איך מתפתחות אוכלוסיות של חרקים; פיזיקאים מתארים במשוואות את החוקים הבסיסיים של העולם והמרחב עצמו.

המשותף לכל אלה הוא המפגש בין האלגברה לגיאומטריה. עד דקארט, היו אלה שני תחומים שונים, ונפרדים לחלוטין. קצת כמו שלומדים אותם בבית הספר היסודי: כאן מדברים על צורות במרחב, וכאן מחשבים מספרים ופותרים משוואות. דקארט היה הראשון לקחת צורות גיאומטריות, לסמן את צלעותיהן וזוויותיהן באותיות - ואז מתוך חוקי הגיאומטריה להרכיב משוואות. היום נראה לנו מובן מאליו שאפשר לתאר מיקום של נקודה במישור באמצעות זוג מספרים: האחד מציין כמה "צעדים" הולכים לאורך, והשני כמה צעדים יש ללכת לרוחב. רעיון זה לא היה קיים עד שנת 1637.

דיוקנו של רנה דקארט בבול בצרפת(צילום: shuttertock)

פיתוח נוסף של דקארט היה ההבנה שאפשר לכתוב ביטוי כמו X2+X2. מה הבעיה בביטוי כזה? שעד דקארט הוא היה חסר משמעות לחלוטין. גדלים רגילים, כמו X, ציינו "אורך". גדלים בריבוע ציינו "שטח". לחבר אורך עם שטח? הרי זה אבסורד בלתי אפשרי. מובן כי הדבר הגביל את המתמטיקה מאוד. דקארט הצליח לשבור את המחסום המחשבתי הזה, ובעזרת תעלול מתמטי של דמיון משולשים, הצליח להציג גם את X2 כאורך. הדבר פתח בפני המתמטיקאים אפשרויות חדשות, ובלתי מוגבלות. כל המתמטיקאים השתמשו בעבודתו של דקארט, שהייתה להם בסיס לזנק ממנו לגבהים ולמרחבים שמוח אדם לא ידע מעולם.

יש לציין שדקארט עצמו לא השתמש במערכת צירים כפי שאנו מכירים אותה היום. הוא השתמש בכל פעם רק בציר אחד. הרעיון של צירוף שני צירים יחד לתיאור עולם דו-ממדי, או שלושה צירים לתיאור עולם תלת-ממדי, הוא עבודה מאוחרת מעט יותר, של מתמטיקאים שקראו את דקארט ופיתחו את רעיונותיו. אבל הכל התחיל בנספח הקטן, שנקרא "אנליזה של הגיאומטריה".

את העבודה המתמטית של רנה דקארט כולנו מכירים היטב. למדנו אותה עוד בחטיבת הביניים. היום הרעיונות הללו נראים לנו כל כך ברורים ומובנים מאליהם, שקשה לנו לדמיין עולם שהם לא קיימים בו. אנו אומרים משפטים כמו "המשוואה הזו מתארת את הקו הישר הזה" - ולא עוצרים לרגע לחשוב כמה זה מוזר ומדהים שמשוואה מתארת קו. זה אחד המדדים לגאונות אמיתית - להיות זה שממציא, או מגלה רעיון כל כך בסיסי, כל כך עמוק ויסודי – שאין אנו מסוגלים להבין איך לא חשבו על זה קודם. זו הייתה גדולתו הגדולה ביותר של דקארט, והתוצאה של עבודה זו היא מה שמוכר לנו היום כ"מערכת הצירים הקרטזית", הקרויה על שמו.

מיכאל גורודין, מכון דוידסון לחינוך מדעי