ההגיון מאחורי הפרדוקסים של זנון

זֶנוֹן (Zeno) היה פילוסוף יווני קדם-סוקרטי, שחי באֶלֵיאָה (Elea) שבדרום איטליה במאה החמישית לפני הספירה, ונחשב לאבי הדיאלקטיקה הפילוסופית (שאותה אימץ גם סוקרטס, מגדולי הפילוסופים של הזמן העתיק, שפגש בצעירותו את זנון).

בהשפעתו של מורו פרמנידס (Parmenides), אשר טען שהעולם הוא אחיד ובלתי משתנה ושהריבוי והשינוי אינם אלא אשליה, הגה זנון סדרה של פרדוקסים, שמטרתם להראות שאם מניחים ריבוי או שינוי מגיעים לכלל סתירה. בסך-הכל מיוחסים לזנון עשרות פרדוקסים, אך רק אחדים מהם נשתמרו עד ימינו (ואף אין ודאות שזנון עצמו אכן כתב את כל הפרדוקסים המיוחסים לו).

להלן נציג את שלושת הפרדוקסים המפורסמים ביותר שלו, שבאמצעותם ניסה להראות שההנחה שתנועה היא אפשרית מביאה לכדי סתירה. באמצעותם קיווה זנון להראות את נכונות עמדתו של פרמנידס שהעולם סטטי, ושהתנועה אינה אלא אשליה (הצגתם של פרדוקסים אלו מהווה גם השלמה לפרדוקסים של האינסוף, שהוצגו בשתי הרשימות הקודמות במדור זה).

אכילס והצב

הבה נתאר לעצמנו תחרות ריצה בין הגיבור היווני המיתולוגי אכילס, אשר נחשב לאתלט יוצא מן הכלל, לבין צב יבשה ממוצע, אשר רחוק מלהוות לו יריב ראוי. אכילס, אשר משוכנע בניצחונו, מאפשר לצב להתחיל את המירוץ מנקודה הקרובה יותר לקו הגמר, שאותה נכנה נקודה א'. עם הישמע השריקה מתחילים שני המתחרים בתנועתם אל קו הגמר, ואכילס, בצעדים קלילים ובטוחים, מגיע חיש קל לנקודה א'.

אלא שהצב, על אף אטיותו הרבה, הספיק בינתיים להתקדם כברת דרך מסוימת (אף כי קטנה באופן משמעותי מזו שאכילס עבר בזמן זה), והגיע לנקודה אחרת, קרובה יותר לקו הגמר, שאותה נכנה נקודה ב'. אכילס מבחין עם הגיעו לנקודה א', שהצב עדיין מקדים אותו, וממשיך בריצתו המהירה, שמביאה אותו תוך פרק זמן קצר לנקודה ב'. ואולם, הצב, שלא נח לרגע, הספיק להתקדם בינתיים כברת דרך נוספת (כמובן קצרה יותר מזו שבין הנקודות א' וב'), והגיע לנקודה ג', הקרובה יותר לקו הגמר מהמקום שבו אכילס נמצא באותו הרגע.

האתלט מבחין כמובן שהצב עדיין מקדים אותו, וממשיך בריצתו המהירה, שמביאה אותו במהירות הבזק לנקודה ג'. אך בזמן שאכילס רץ מנקודה ב' לנקודה ג' הספיק הצב אף הוא להתקדם מעט, והגיע לנקודה ד', הקרובה לקו הגמר יותר מנקודה ג', שבה אכילס נמצא כעת, כך שהצב עדיין מקדים את הגיבור היווני. וכך ממשיכים השניים בתנועתם, כשבכל פעם שאכילס מגיע לנקודה הקודמת שבה היה הצב, מצליח הצב לעשות כברת דרך קטנה נוספת.

מאחר שאכילס חייב תמיד לעבור דרך הנקודה הקודמת שבה היה הצב, ובזמן זה (יהא קצר ככל שיהא) הצב מספיק להתקדם עוד קצת, נמצא שאכילס לעולם לא ישיג את הצב, וזאת בניגוד לידיעתנו הוודאית שלוּ תחרות כזו היתה מתרחשת במציאות, אכילס המהיר היה מנצח את הצב האטי בקלי קלות!

גרסה אנלוגית לפרדוקס אכילס והצב, ואשר אנו עדים לה בחיי היומיום, היא תנועת המחוגים של שעון קיר. בשעה 12:00 מורים שני המחוגים באותו כיוון (12), ומרגע זה מתחיל ביניהם מירוץ, כשמחוג הדקות (אכילס) מנסה להשיג את מחוג השעות (הצב), שניתנת לו בתחילת המירוץ מקדמה של סיבוב שלם. מאחר שמחוג הדקות נע במהירות הגבוהה פי 12 מזו של מחוג השעות, הרי שבהשלים מחוג הדקות סיבוב אחד (60 שנתות), הספיק מחוג השעות להתקדם 5 שנתות, והוא מורה בכיוון המספר 1 שעל לוח השעון.

כאשר מגיע מחוג הדקות אף הוא לאותו מקום, ומורה בכיוון המספר 1, הספיק מחוג השעות להתקדם בינתיים עוד כמחצית השֶנֶת, והוא עדיין מוביל. וכן הלאה וכן הלאה, בדומה לניסיונו של אכילס להשיג את הצב, מנסה מחוג הדקות להשיג את מחוג השעות, אך בכל פעם שהוא מגיע למקומו הקודם של מחוג זה, מצליח מחוג השעות להתקדם עוד קצת, ויוצא מכאן שמחוג הדקות לעולם לא יצליח להשיג אותו. זאת בסתירה מוחלטת לידיעתנו שהוא עושה זאת שוב ושוב במהלך היממה.

פרדוקס זה, כמוהו כשאר הפרדוקסים של זנון העוסקים בתנועה, הטריד את מיטב ההוגים למעלה מאלפיים שנה, שכן לא נמצא כל פגם במהלך הלוגי של הטיעון (אכילס חייב, בדרכו לקו הגמר, להגיע לנקודה הקודמת שבה היה הצב, כשבינתיים הצב מספיק להתקדם עוד קצת), אף שהוא מוביל למסקנה אבסורדית.

רק במאות השנים האחרונות, עם התפתחותה של המתמטיקה האינפיניטסימלית, וכניסתו לשימוש של המושג "טור אינסופי מתכנס", נראה היה שנמצא הפתרון לפרדוקס: אף שבניסיונו של אכילס להשיג את הצב עליו לעבור אינסוף קטעי דרך (מנקודת המוצא לנקודה א', מנקודה א' לנקודה ב', מנקודה ב' לנקודה ג' וכן הלאה), ואינסוף פרקי זמן (שלאכילס לוקח לעבור קטעי דרך אלו), הרי שבשל העובדה שקטעי הדרך ופרקי הזמן הולכים וקטנים בקצב קבוע, סכומם הוא בכל זאת סופי.

נניח, למשל, שבתחילת המירוץ הצב מקדים את אכילס ב-100 מטרים, ושמהירות ריצתו של אכילס גדולה פי 10 מזו של הצב. בתנאים אלו, בזמן שאכילס עובר את 100 המטרים הראשונים, מספיק הצב להתקדם 10 מטרים. כאשר עובר אכילס גם 10 מטרים אלו, מקדים אותו הצב במטר אחד בלבד. בזמן שאכילס עובר גם מטר זה מתקדם הצב עוד 10 סנטימטרים, וכן הלאה. קל לראות שהמרחק הכולל שעושה אכילס עד שהוא משיג את הצב הוא (במטרים): , ואפשר להראות שאף שביטוי זה כולל אינסוף מחוברים, ערכו הוא מטר, וזהו המרחק שאכילס עובר (בתנאים שתוארו) עד השיגו את הצב.

כך גם לגבי פרקי הזמן הנדרשים לאכילס כדי לעבור קטעי דרך אלו: אם נניח שמהירות ריצתו של האתלט היא 10 מטרים לשנייה (ושל הצב – מטר אחד לשנייה), הרי שאת מאה המטרים הראשונים הוא עובר ב-10 שניות, את קטע הדרך הבא (10 מטרים) בשנייה אחת, וכן הלאה. מתקבל הטור האינסופי (בשניות): , ואפשר להראות שערכו של טור אינסופי זה הוא שניות. דהיינו, אכילס משיג את הצב בפרק זמן זה, ומיד לאחריו הוא כבר מקדים אותו בדרך לקו הגמר.

באותו אופן אפשר להראות שמספר השנתות ששעון הדקות עובר עד שהוא משיג את מחוג השעות (האטי ממנו פי 12) הוא: . מאחר שמחוג זה עובר שֶנֶת אחת בדקה, הרי שזהו גם מספר הדקות הנדרש לו כדי להשיג את מחוג השעות. יתרונה של גרסת המחוגים של הפרדוקס הוא בכך שהדרך שמחוג הדקות עושה עד שהוא משיג את מחוג השעות מייצגת גם את הזמן הנדרש לו כדי לעשות זאת, והדבר מקל את הבנת תופעת ההתכנסות (שאותה, כאמור, אנו יכולים לראות במו עינינו על-ידי בחינה זהירה של שעון בעל מחוגים).

פרדוקס הדיכוטומיה

לפרדוקס זה, הנקרא גם "פרדוקס מסלול המירוץ", יש שתי גרסאות (התואמות פרשנויות שונות לנוסח המופיע בכתבי אריסטו), אך הן דומות זו לזו במהלך הלוגי שלהן ובמסקנתן, ועל כן נציג כאן רק אחת מהן (המכונה לעתים "הגרסה הפרוגרסיבית"): אדם רוצה להגיע מנקודה א' לנקודה ב'.

לשם כך יהיה עליו לעבור קודם את מחצית הדרך. אחר-כך תישאר

בסך-הכל יהא עליו לעבור אינסוף קטעי דרך, שכן לאחר כל קטע דרך שהוא עובר (מחצית מכברת הדרך שנותרה לו), עדיין נשאר לו מרחק מסוים שעליו לעבור, ועל כן לעולם לא יגיע ליעדו. מאחר שמהלך לוגי זה אינו תלוי במרחק בין הנקודות א' וב', הרי שאינו יכול להגיע ליעדו גם אם הדרך שהוא מתכוון לעשות קצרה ביותר. מסקנה: אי-אפשר לעבור מרחק כלשהו – התנועה היא אשליה.

כאמור, רק הבנת אופיים של טורים מתכנסים אִפשרה לפתור פרדוקסים אלו באופן מספק. גם פרדוקס הדיכוטומיה נפתר כאשר מראים שאינסוף קטעי הדרך שעל האדם לעבור בדרכו מנקודה אחת לאחרת מתכנסים לאורכה של הדרך כולה (שהוא גודל סופי), וסכום פרקי הזמן שנדרש לו כדי לעבור קטעי דרך אלו מתכנס אף הוא למספר סופי.

אם נניח, למשל, שעלי לעבור מרחק של 3.6 קילומטרים, ואני צועד במהירות של מטר אחד לשנייה, הרי שאת 1.8 הקילומטרים הראשונים (מחצית הדרך) אעבור במחצית השעה; את מחצית המרחק שנותר (900 מטרים) אעבור ברבע שעה; את 450 המטרים הבאים אעבור בשמינית השעה (7.5 דקות), וכן הלאה וכן הלאה. פרק הזמן הכולל שיידרש לי כדי לעבור אינסוף קטעי דרך אלו הוא (בשעות): , ואפשר להראות שסכום אינסופי זה מתכנס לשעה אחת. כלומר, הזמן שיידרש לי כדי לעבור אינסוף קטעי דרך אלו הוא בכל זאת סופי.

פרדוקס החץ

הבה נהרהר בתנועתו של חץ במסלולו: מאחר שתנועה כלשהי, ותהיה קצרה ככל שתהיה, אורכת פרק זמן מסוים, הרי שברגע נתון כלשהו (שמשכו 0 יחידות זמן), החץ נמצא במנוחה. במילים אחרות: מאחר שלרגע נתון אין משך, החץ אינו מספיק לנוע בו. הדבר נכון לגבי כל אחד מהרגעים שבהם החץ נמצא במסלולו, ואולם, אם החץ אינו נע אף באחד מרגעים אלו, הרי שאין הוא נע כלל, ועל כן תנועתו אינה אלא אשליה.

גם פרדוקס החץ חיכה למעלה מאלפיים שנה עד שמושג התנועה הובהר, ואִפשר להציע לו פתרון: תנועתו של גוף אינה נקבעת ברגעים בודדים. גוף נמצא בתנועה אם בשני רגעים סמוכים הוא נמצא במקומות שונים. אנו אכן מדברים על מהירותו של גוף ברגע נתון, אך מהירות זו נקבעת על פי היחס בין המרחק שגוף זה עובר בין שני רגעים סמוכים לבין פרק הזמן החולף בין רגעים אלו (גם אם הוא קטן מאוד).

על פי תורת הגבולות, שהקינמטיקה (תורת התנועה) עושה בה שימוש, אפשר לבחור לצורך כך רגעים הסמוכים זה לזה כרצוננו, אך עדיין, בשני רגעים אלו יימצא החץ במקומות שונים (גם אם סמוכים מאוד), ועל כן יש לו מהירות בכל אחד מהרגעים שבהם הוא נמצא במסלולו.

הכתבה פורסמה במגזין גליליאו .